Квантовая механика

[Sicker]

По какому учебнику лучше всего изучать квантмех с нуля? И что для этого предварительно нужно? Электродинамика как я понимаю не нужна? А лагранжева и гамильтонова механика? Почитываю ландавшиц, правильно ли я понимаю, что вероятность определяет не столько квадрат модуля комплексной волновой функции, сколь ее произведение с комплексно-сопряженной волновой функцией ?( да это одно и то же, просто Ландау не говорит звездочка это ведь комплексное сопряжение да?)

[Munin]

1. Предварительно нужны: матан (с началами ТФКП), линал, ОДУ, предварительно или параллельно можно читать ураматы.

2. Гамильтонова механика нужна как воздух. А её обычно излагают после и на основе лагранжевой.

Sicker в сообщении #824262 писал(а):

Почитываю ландавшиц, правильно ли я понимаю, что вероятность определяет не столько квадрат модуля комплексной волновой функции, сколь ее произведение с комплексно-сопряженной волновой функцией ?( да это одно и то же, просто Ландау не говорит звездочка это ведь комплексное сопряжение да?)

Звёздочка - это комплексное сопряжение. Это обозначение широко принято в физике. В математике часто используется надчёркивание, но в физике оно неудобно.

Раз это одно и то же, то вопрос, что "не столько одно, сколь другое", сам по себе бессмысленен. Пишите как удобней. Вычислять бывает удобней и так и сяк.

P. S. Насчёт звёздочки. Надо чётко понимать и различать три вещи, которые могут использоваться и в линейной алгебре, и в теории матриц, и в функциональном анализе, и в квантовой механике, в разных контекстах:
- $A^{\mathrm{T}}$ - объект, транспонированный к $A$;
- $A^*=\bar{A}$ - объект, комплексно-сопряжённый к $A$ (также говорят иногда сопряжённый);
- $A^+=A^{\dagger}$ - объект, сопряжённый к $A$ (также говорят эрмитово-сопряжённый, сопряжённо-транспонированный).
Между ними есть соотношение

$$A^+=\bigl(A^{\mathrm{T}}\bigr)^*=(A^*)^{\mathrm{T}}.$$

Ещё, часто в курсах линала или матриц не для математиков, рассматривают в основном действительные пространства, а в них комплексного сопряжения нет, $A^*=A,$ и некоторые из этих понятий совпадают. Переходя к комплексному случаю, надо не запутаться. Поскольку во многих книгах свои названия и обозначения, надо в каждой книге с самого начала разобраться с обозначениями, чтобы понимать, о чём в каждый момент говорится. Бывает, что формулы с одинаковым смыслом в разных книгах выглядят по-разному, и что коварнее, формулы с разным смыслом - выглядят одинаково.

[Sicker]

ясно.
А вот насчет гамильтоновой- а без нее можно? Ну чисто второй закон Ньютона квантовать

-- 08.02.2014, 22:53 --

А кстати у Ландау общее выражение вероятности дается биллинейной функцией от Ф и Ф со звездочкой
там помимо координат $q$ есть координаты $q'$. Это скорости или что?

[Munin]

Sicker в сообщении #824277 писал(а):

А вот насчет гамильтоновой- а без нее можно? Ну чисто второй закон Ньютона квантовать

Ответ для студента: нет, нельзя.

Ответ для исследователя: есть очевидные проблемы, и я не знаю, существуют ли способы их обойти.

Sicker в сообщении #824277 писал(а):

А кстати у Ландау общее выражение вероятности дается биллинейной функцией от Ф и Ф со звездочкой
там помимо координат $q$ есть координаты $q'$. Это скорости или что?

Номер формулы?
Вообще скорости в Ландау систематически обозначаются не штрихом, а точкой: $\dot{q}.$
И ЛЛ-3 наиболее естественно читается после прочтения ЛЛ-1. (минимум - главы 1, 2 и половина 7-й до уравнения Гамильтона-Якоби включительно).

-- 08.02.2014 23:01:24 --

Если речь о формуле (2.1)

$$\iint\Psi(q)\,\Psi^*(q')\,\varphi(q,q')\,dq\,dq',$$

то нет, $q$ и $q'$ - это совершенно одинаковые координаты, пробегающие по конфигурационному пространству. Просто интеграл двойной, и их надо как-то по-разному обозначить. Если мы производные обозначаем точкой, то штрих можем использовать для своего удобства.

Функция $\varphi(q,q')$ является здесь ядром интегрального оператора, и если ей позволено быть обобщённой функцией (то есть вида дельта-функции и тому подобного), то она может также задавать интегро-дифференциальные операторы, и в частности дифференциальные. Например, если она имеет вид $\delta(q-q'),$ то задаёт единичный оператор, и формула (2.1) сводится к интегрированию выражения $\Psi(q)\Psi^*(q)$ (интеграл уже однократный по $q$). Эта функция аналогична матрице оператора в обычной линейной алгебре, а вся формула (2.1) - выражению $a^+Aa,$ где $a$ - вектор-столбец, а $A$ - оператор.

[Sicker]

номер формулы 2.1

-- 08.02.2014, 23:02 --

аа ясно

-- 08.02.2014, 23:03 --

а тогда в $\varphi(q,q')$ $q$ всегда равно $q'$ ?

-- 08.02.2014, 23:05 --

или это типо независимые координаты?

[Munin]

Дописал выше.

-- 08.02.2014 23:10:52 --

Sicker в сообщении #824282 писал(а):

или это типо независимые координаты?

Да, независимые. Сравните, когда вы вычисляете $a^+Aa,$ то вы независимо пробегаете по строкам последнего вектора-столбца, и по столбцам первого вектора-строки. Вы должны вычислить в итоге

$$a^+Aa=\sum_{k=1}^n\sum_{k'=1}^n (a_{k'})^*\cdot A_{kk'}\cdot a_k.$$

Вот это выражение и аналогично формуле (2.1), с заменой сумм на интегралы.

[Sicker]

а ну теперь понятно

-- 08.02.2014, 23:32 --

а вот если $\varphi(q,q')$ не равна дельта-функции?

[Munin]

А про это читайте ниже. § 3 и далее везде, где-то аж до § 12.

-- 09.02.2014 00:18:03 --

Вот, например, в § 15 вводится пример конкретного оператора: оператор проекции импульса на ось $x,$ (15.2):

$$\hat{p}_x=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x}.$$

Его ядро вычисляется через производную от дельта-функции:

$$\varphi_{\hat{p}_x}(q,q')=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x}\delta(q-q'),$$

где $x$ - одна из координат $q.$ Но записывать ядро обычно не нужно ни для чего, а вполне достаточно знать формулу оператора в символьном виде. Это позволяет применять его к любым известным функциям, приписывая их справа, и вычисляя получившуюся формулу.

[iifat]

Munin в сообщении #824274 писал(а):

- $A^*=\bar{A}$ - объект, комплексно-сопряжённый к $A$

Вообще-то, помнится мне, $A^*$ — это обычно как раз сопряжённая и транспонированная. В теории матриц, по крайней мере. Воспоминания насчёт "чаще", конечно, смутные, но вот Ф.Р. Гантмахер, Теория матриц со мной согласен.
В общем, универсальный, имхо, совет — внимательно читать определения и помнить, что обозначения могут меняться от книжки к книжке.

[Munin]

В ЛЛ-3 обозначения такие (§ 3):
- $\widehat{f}^*$ - оператор, комплексно-сопряжённый к $\widehat{f}$;
- $\widetilde{\!\widehat{f}\,}$ - оператор, транспонированный к $\widehat{f}$;
- $\widehat{f}\,^+$ - оператор, сопряжённый к $\widehat{f}$.
В издании 2004 года в формуле (3.16) недоисправленная опечатка (хотя многие другие опечатки в формулах исправлены), и правильно она выглядит так (по изданию 1948 года, например):

$$\widehat{f}\,^+=\widetilde{\!\widehat{f}\,}\,^*.$$

-- 09.02.2014 10:17:09 --

В общем, это совпадает со многими другими книгами по квантовой механике, причём обычно комплексно-сопряжённые и транспонированные операторы и векторы вообще не используются, а используются всюду только полностью (эрмитово) сопряжённые. Комплексное сопряжение применяется только для скаляров, для которых понятий транспонирования и эрмитова сопряжения вообще не существует. Кроме того, своё особое обозначение есть у сопряжённых кет-векторов в бра-кет нотации (это просто соответствующий ему бра-вектор).

-- 09.02.2014 10:26:46 --

Часто отличаются только обозначения сопряжения плюсиком или специальным типографским знаком обелиск (крестик, dagger). В свежих книгах распространённее плюсик. Хотя это и мешается, если хочется обозначить какие-то величины верхним индексом плюс или минус (например, положительно- и отрицательно-частотные части).

Тильда часто используется в других смыслах, например, как обозначение фурье-образа. Использование её для обозначения транспонирования далеко не общепринято.

И наконец, в КМ и КТП приняты разные обозначения операторов. В КМ операторы указывают шляпкой (крышечкой), а в КТП никак дополнительно не указывают (шляпка иногда обозначает векторы, единичный вектор, или что-то ещё).

[Ascold]

Я изложу непопулярную точку зрения - квантовую механику следует начать изучать с книги Д. Бома "Квантовая теория". Сам Бом свой подход знаменует примерно так "смотреть на квантовую механику как на теорию операторов - примерно то же, что на классическую механику - как на теорию решения диф. уравнений 2 порядка".
Я сам вначале изучал КМ по лекциям своего лектора - не понравилось, был серьёзный психологический дискомфорт от всех этих операторов и комплексных чисел. Потом почитал Бома - понравилось, стало легче и интереснее. После этого вернулся к книгам Блохинцева и Ландау-Лифшица.
Не стоит думать, что книга Бома - научпоп, мозги при её чтении напрягаются ещё как и формулы выводить вслед за автором лишь успевай. Но именно в ней подробно разобрано много того, о чём в ЛЛ3 и в Блохинцеве говорят вскользь(например, убедительно обсчитана ультрафиолетовая катастрофа и неизбежность квантования в связи с ней, а также почему ур-е Шрёдингера именно 2 порядка и к каким несуразностям привело бы ур-е 1 или 4 порядка для волновой функции, почему траектория движения частицы фундаментально неопределена, а не лишь в смысле невозможности хорошо замерить и ещё много чего интересного).
Из недостатков книги - использование автором приближённых методов для атома водорода, например. В Блохинцеве этот вопрос изложен стройнее, но при этом требуется знание специальных функций(урматы).