Численное интегрирование, помогите определить что за метод

[Alexeybk5]

Здравствуйте. Столкнулся с методом численного интегрирования, но никак не могу найти как он называется и вообще существует ли.

формула нахождения площади под параболой/интеграл


$S=\sum_{i=0}^{n} f_i - \frac{f_{\max}+f_{\min}}{2} \cdot n$


Что это ?

[Евгений Машеров]

Это похоже на иную форму записи метода трапеций, но с явной ошибкой. Попробуйте подставить константу, и посмотрите, что получится. Откуда оно?

[Alexeybk5]

Я тоже сначала подумал про метод трапеции.

В общем это из одного биохимического эксперимента ,где нужно подсчитать процент восстановления (fraction of reduction). Уравнение составлял химик. В моём распоряжении лишь лист excell в котором он подсчитал данные используя эту формулу.

имеется 18 точек по y (т.е. $f_i$) , образующие параболу, площадь под которой нужно посчитать

[svv]

Alexeybk5 в сообщении #823832 писал(а):

Уравнение составлял химик. В моём распоряжении лишь лист excell

В таком случае, скорее всего, пропуск скобок — Ваша ошибка, а не его.
И вместо $n$ должно быть $h$ — шаг по $x$.

[Alexeybk5]

Вот ещё что я забыл упомянуть, формула содержала следующее:

18 точек $f_i$, потом он пишет в ячейку С5 значение 9, и затем пишет формулу

=СУММ(A1:A18)-\$C\$5*(A1+A18)

где в А1, находится $f_0$ и в А18 $f_n$


т.е. как шаг он взял $h=9$ ?

[provincialka]

Нет, получается $h=18$, его же на 2 делят. Видимо, товарищ все-таки перепутал переменные $n$ и $h$. В любом случае на $h$ должна умножаться вся сумма.

[svv]

Метод трапеций в случае равномерной сетки приводит к формуле
$S=\left(\frac {f_0}2+f_1+...+f_{n-1}+\frac{f_n}{2}\right) h$
Это можно записать и так:
$S=\left(\sum\limits_{i=0}^n f_i - \frac{f_0+f_n}{2}\right) h$
И всё.
Кстати, раз в ячейке $A1$ хранится $f_0$, то в ячейке $A18$ хранится $f_{17}$. Поэтому $n$ у Вас $17$, а не $18$.

[Alexeybk5]

svv, согласен, что метод трапеции очень сильно похож на то, что товарищ записал. в таком случае получается что h=1, что логично т.к. шаг по длине волны как раз равен одному.

$S=\left(\sum\limits_{i=0}^n f_i - \frac{f_0+f_n}{2}\right) h$

и
=СУММ(A1:A18)-\$C\$5*(A1+A18)

А то что записал химик, вообще не существует, я правильно понимаю ? ( что интересно, т.к. это делал аспирант))))

[svv]

Да, интерпретировать это трудно. Может, можно у него уточнить?

Ещё придирка: $f_{\max}$ — плохое обозначение для $f(x_{\max})$. Здесь максимально только $x$, а $y$ совсем не обязательно.

[Alexeybk5]

svv в сообщении #823853 писал(а):

Да, интерпретировать это трудно. Может, можно у него уточнить?

Ещё придирка: $f_{\max}$ — плохое обозначение для $f(x_{\max})$. Здесь максимально только $x$, а $y$ совсем не обязательно.

хотелось бы, но он увы недоступен.

Вы правы, с макс, нужно быть аккуратнее.

Но вот ещё что странно, положим он применил ту формулу для подсчёта площади, и в результате у него получилось, что площадь (интеграл) равна 0,259 ... при том, что точки (смм оффтоп). Т.е. по его методу, получается что площадь уж слишком маленькая для таких значений... Что ведь не может быть?

(Оффтоп)

0,504
0,5
0,497
0,496
0,496
0,497
0,499
0,5
0,5
0,498
0,495
0,49
0,484
0,476
0,468
0,458
0,449
0,439

[svv]

При шаге $h=1$ получится $S=8.2745$.
Это легко проверить. Значений $18$, значит, интервалов $17$. Среднее значение $f_i$ чуть меньше $0.5$. Значит, интеграл будет чуть меньше $17\cdot 0.5=8.5$.

А вот $S=0.259$ получится примерно при шаге $\frac 1{32}$. Такого числа нигде не было?

[Alexeybk5]

svv в сообщении #823863 писал(а):

При шаге $h=1$ получится $S=8.2745$.
Это легко проверить. Значений $18$, значит, интервалов $17$. Среднее значение чуть меньше $0.5$. Значит, интеграл будет чуть меньше $17\cdot 0.5=8.5$.
А $S=0.259$ получится примерно при шаге $\frac 1{32}$. Такого числа нигде не было?

Простите, я давно уже не занимался численным анализом, поэтому немного подзабыл.
А разве можно делать шаг 1/32, если у нас есть лишь 18 значений $f_i$ ? Разве в таком случае не должно быть $h=1$ ?
при h=1, excel выдаёт значение S=7,803

нет, увы он записал это именно вот этим странным способом

1) он указал, что есть 18 точек
2)потом внём в ячейку значение 9
3) использовал эту ячейку с девяткой внутри в формуле =СУММ(A1:A18)-9*(A1+A18)
и получает 0,259

[svv]

Alexeybk5 в сообщении #823867 писал(а):

А разве можно делать шаг 1/32, если у нас есть лишь 18 значений $f_i$ ?

Шаг $h$ может быть любой положительный.
Ваши $f_i$ — это на самом деле $f(x_i)$. Возникает вопрос: чему равны $x_i$? При равномерной сетке ответ:
$x_i=x_0+ih$, где $i=0..n, \quad h=\frac{x_n-x_0}{n}$
Т.е. важно понимать, что площадь зависит не только от $f_i$, но и от того, каким $x_i$ они сопоставлены. Из двух прямоугольников одинаковой высоты широкий имеет большую площадь, чем узкий.

[Alexeybk5]

svv в сообщении #823868 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #823867 писал(а):

А разве можно делать шаг 1/32, если у нас есть лишь 18 значений $f_i$ ?

Шаг $h$ может быть любой положительный.
Ваши $f_i$ — это на самом деле $f(x_i)$. Возникает вопрос: чему равны $x_i$? При равномерной сетке ответ:
$x_i=x_0+ih$, где $i=0..n, \quad h=\frac{x_n-x_0}{n}$

Спасибо, вспомнил.

Но в таком случае, если у меня нет самой функции $f(x)$, а есть лишь её частичные значения $f(x_i)$ причём лишь в этих 18 значениях $x_i $, то как можно брать шаг равный 1/32, если у меня нет значений$ f(x_i)$ в этих промежуточных точках?


т.е. можно считать, что значения $x_0 = 1, x_1=2, \dots, x_{17}=18$, и соответствующие $f (x_i) $ находятся в оффтопе

(Оффтоп)

0,504
0,5
0,497
0,496
0,496
0,497
0,499
0,5
0,5
0,498
0,495
0,49
0,484
0,476
0,468
0,458
0,449
0,439

[svv]

Шагу, равному $1/32$, соответствует такая интерпретация Ваших данных:
$f(0)=0.504$
$f(\frac 1 {32})=0.5$
$f(\frac 2 {32})=0.497$
...
$f(\frac {17} {32})=0.439$
Вот для таких точек $x_i$ известны $f(x_i)$. Что же, нельзя численно найти интеграл? Можно, конечно. Он будет в $32$ раза меньше, чем если бы $x_i$ были последовательные целые числа. (Представьте, что фигуру сузили в $32$ раза.)