Численное интегрирование, помогите определить что за метод

[Alexeybk5]

svv

Согласен с Вами. Получается, что этот товарищ использовал вместо численного интегрирования какой-то извращённый метод линеаризации ? химиков трудно понять, но каким-то чудом, финальные результаты сходятся !!!

Я видел такое раньше, но это касалось линеаризации результатов для регрессионного анализа. В первый раз вижу, чтобы что-то такое проделывали с интегралами...

Ведь каким-то непонятным образом его чудесная формула умудряется подогнать и остальные данные ! т.е. в образцах 11,12,13 площади под графиком больше чем в образце 10, но по его "формуле" они становятся меньше ! Ну как же ?? Он всего-лишь суммирует все 18 значений $f(x_i)$ и отнимает 9 раз сумму $f_0 + f_{17}$, и эта штука умудряется подогнать результаты !

[svv]

Я думаю, самое правдоподобное предположение — что у него не просто интеграл, а с некоторым дополнительным действием. Т.е. он интегрирует, а потом делает ещё что-то, а Вы думаете, что это результат только-интегрирования.

[Alexeybk5]

svv в сообщении #824015 писал(а):

Я думаю, самое правдоподобное предположение — что у него не просто интеграл, а с некоторым дополнительным действием. Т.е. он интегрирует, а потом делает ещё что-то, а Вы думаете, что это результат только-интегрирования.

Понимаете, я в замешательстве вот по какой причине. В теоретической части к работе написано, что считается именно "Area" под графиком (вот это выглядит примерно так, верхний график на картинке)
http://www.rsc.org/ej/OB/2011/c0ob00411a/c0ob00411a-f2.gif

т.е. нужно посчитать площадь под кривыми, для каждого образца.(от 1 до 30)

да, в 14, она получается больше чем в 10. Но последовательность в листе Excel именно такая:

сначала он считает площадь под графиком, своей формулой, потом с этими "площадями" проводит дальнейшие вычисления. И они в итоге дают верные результаты только в случае, если площади подсчитаны по его формуле...

Вот как так может быть ? в методичке пишут, что нужно найти "Area", и идёт эта формула, которая не является чистым интегрированием... Да и с точки зрения логики, нужна именно площадь под кривыми (считается процент восстановления каждого образца. т.е. если например в 18 образце, парабола находится "посередине", то fraction of reduction = 0.5, т.е. половина образца является восстановленным, а половина окисленным, и чтобы получить 0,5, мы используем дальше формулу

$\frac{Area-Area ox}{Area red-Area ox}$

Area ox - площадь под графиком в образце 10
Area red - площадь под графиком в образце 30 (т.е. минимальная площадь из всех тридцати образцов)

[_Ivana]

ИСН

(Оффтоп)

Забавный случай, напомнил мне мое недавнее "открытие" сплайна Катмулла-Рома эпическая тема на форуме электроникс.ру про сплайны, энтузиазм и его крушение под натиском суровой действительности

[Alexeybk5]

Давайте попробуем представить, что этот химик хотел посчитать ? Вот что это за действие такое, когда мы суммируем все 18 значений $f(x_i)$ и отнимаем $9*(f(x_0)+f(x_{17}))$.

в каждом из тридцати образцов значения $f(x_0) , f(x_{17})$ почти одинаковые (в этих точках графики пересекаются)


как это действие умудряется сделать площадь (или что оно там) в образце 14 меньше, чем в образце 10 ? Вот как это с математической точки зрения возможно ???
значаения $x_0,x_1,\dots,x_{17}$ :

(Оффтоп)

543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560

вот значения для образца 10 $f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_{17})$

(Оффтоп)

0,489
0,549
0,625
0,715
0,814
0,913
1,004
1,075
1,115
1,119
1,084
1,013
0,913
0,794
0,668
0,545
0,433
0,337

и для образца 14, $f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_{17})$

(Оффтоп)

0,531
0,581
0,646
0,726
0,816
0,909
0,996
1,067
1,112
1,125
1,102
1,045
0,96
0,857
0,745
0,636
0,535
0,449

[svv]

Alexeybk5 в сообщении #824120 писал(а):

Вот что это за действие такое ... $9*(f(x_0)+f(x_{17}))$.

Это не совсем правильное, но всё-таки вычисление площади под отрезком между точками $(x_0,f_0)$ и $(x_{17},f_{17})$. На картинке эта площадь обозначена синим цветом.
Формулу площади прямоугольной трапеции помните? $\frac{f_0+f_{17}}{2}(x_{17}-x_0)=8.5(f_0+f_{17})$. Небольшая ошибка: химик подумал, что раз измерений $18$, то и расстояние между $x_\min$ и $x_\max$ тоже. На самом деле $560-543=17$, поэтому коэффициент не $9$, а $8.5$.

Если это отнять от нашего интеграла (синяя область+желтая область), останется площадь только желтой фигуры:

Имеет это какой-то смысл? У Вас же там по формуле что-то вычитается...

[Alexeybk5]

svv в сообщении #824126 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #824120 писал(а):

Вот что это за действие такое ... $9*(f(x_0)+f(x_{17}))$.

Это не совсем правильное, но всё-таки вычисление площади под отрезком между точками $(x_0,f_0)$ и $(x_{17},f_{17})$. На картинке эта площадь обозначена синим цветом.
Формулу площади прямоугольной трапеции помните? $\frac{f_0+f_{17}}{2}(x_{17}-x_0)=8.5(f_0+f_{17})$. Небольшая ошибка: химик подумал, что раз измерений $18$, то и расстояние между $x_\min$ и $x_\max$ тоже. На самом деле $560-543=17$, поэтому коэффициент не $9$, а $8.5$.

Если это отнять от нашего интеграла (синяя область+желтая область), останется площадь только желтой фигуры:

Имеет это какой-то смысл? У Вас же там по формуле что-то вычитается...

Ну тогда вроде сходится

Он сделал следующее
$\sum_{i=0}^{n=17}(f_i)-9*(f(x_0)+f(x_{17}))$

Т.е. он "посчитал" площадь под графиком через член $\sum_{i=0}^{n=17}(f_i)$ и отнял от него площадь трапеции $-9*(f(x_0)+f(x_{17}))$


То есть, если изменить коэффициент с 9 на 8,5, то его метод даёт верные результаты? т.к. по сути нужно получить именно жёлтую область


Если так, тогда он наверное ошибся и должно было быть 8,5+1, т.е. 9,5, ведь ещё один $\frac{f_0+f_{17}}{2}$ должен быть из метода трапеции

$S=\left(\sum\limits_{i=0}^{17} f_i - \frac{f_0+f_{17}}{2}\right) h$, где h = 1
$S=\left(\sum\limits_{i=0}^{17} f_i - \frac{f_0+f_{17}}{2}\right) $, и отнимая площадь трапеции, полчается

$S=\left(\sum\limits_{i=0}^{17} f_i - 9,5 \frac{f_0+f_{17}}{2}\right) $,

[svv]

Да, Вы правы.
С химика бутылка мартини.

[Alexeybk5]

Тайна раскрыта Спасибо большое за Вашу помощь !

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #824013 писал(а):

Получается, что этот товарищ использовал вместо численного интегрирования какой-то извращённый метод линеаризации ?

Линеаризация -- это и есть простейший вариант численного интегрирования, не более и не менее.

[Alexeybk5]

Alexeybk5 в сообщении #824136 писал(а):

svv в сообщении #824126 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #824120 писал(а):

Вот что это за действие такое ... $9*(f(x_0)+f(x_{17}))$.

Это не совсем правильное, но всё-таки вычисление площади под отрезком между точками $(x_0,f_0)$ и $(x_{17},f_{17})$. На картинке эта площадь обозначена синим цветом.
Формулу площади прямоугольной трапеции помните? $\frac{f_0+f_{17}}{2}(x_{17}-x_0)=8.5(f_0+f_{17})$. Небольшая ошибка: химик подумал, что раз измерений $18$, то и расстояние между $x_\min$ и $x_\max$ тоже. На самом деле $560-543=17$, поэтому коэффициент не $9$, а $8.5$.

Если это отнять от нашего интеграла (синяя область+желтая область), останется площадь только желтой фигуры:

Имеет это какой-то смысл? У Вас же там по формуле что-то вычитается...

Ну тогда вроде сходится

Он сделал следующее
$\sum_{i=0}^{n=17}(f_i)-9*(f(x_0)+f(x_{17}))$

Т.е. он "посчитал" площадь под графиком через член $\sum_{i=0}^{n=17}(f_i)$ и отнял от него площадь трапеции $-9*(f(x_0)+f(x_{17}))$


То есть, если изменить коэффициент с 9 на 8,5, то его метод даёт верные результаты? т.к. по сути нужно получить именно жёлтую область


Если так, тогда он наверное ошибся и должно было быть 8,5+1, т.е. 9,5, ведь ещё один $\frac{f_0+f_{17}}{2}$ должен быть из метода трапеции

$S=\left(\sum\limits_{i=0}^{17} f_i - \frac{f_0+f_{17}}{2}\right) h$, где h = 1
$S=\left(\sum\limits_{i=0}^{17} f_i - \frac{f_0+f_{17}}{2}\right) $, и отнимая площадь трапеции, полчается

$S=\left(\sum\limits_{i=0}^{17} f_i - 9,5 \frac{f_0+f_{17}}{2}\right) $,

Площадь трапеции
$\frac{f_0+f_{17}}{2}(x_{17}-x_0)=8.5(f_0+f_{17})$
Интеграл, при $h=1$
$S=\left(\sum\limits_{i=0}^{17} f_i - \frac{f_0+f_{17}}{2}\right)=\left \sum\limits_{i=0}^{17} f_i - 0.5 (f_0+f_{17})\right$

Площадь под графиком (интеграл) отнять площадь трапеции
$S= \sum\limits_{i=0}^{17} f_i - 0.5 (f_0+f_{17}) - 8.5(f_0+f_{17}) = \sum\limits_{i=0}^{17} f_i - 9 (f_0+f_{17}) $

9, девять получается....


Получается что же , химик нас сделал ?

[svv]

Да, Вы правы. Восемь с половиной как площадь трапеции, да эта половина $\frac{a_0+a_{17}}2$, которая отнимается от суммы всех значений по формуле трапеции — всего отнимается ровно $9(a_0+a_{17})$.

Химик нас сделал, и бутылка мартини возвращается обратно ему.