Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)

[Утундрий]

Речь, конечно, пойдёт не о ёжиках... И даже не о той крутой книжке по экологии, которую автор сих букв открыл и закрыл, пообещай как-нибудь позже снова открыть, если повезёт (книжке). Сегодня мне хотелось бы поговорить об учёте личного возраста в моделировании роста популяции... ну, предположим, ёжиков. Гм. Речь всё же пойдёт о ёжиках. Ну, ёжики, так ёжики...

Итак, ёжики. Они рождаются, взрослеют, начинают размножаться и после этого диссипируют в гумус. Гумус мы рассматривать не будем, а сосредоточимся на ёжиках.

Охарактеризуем популяцию ёжиков функцией распределения по возрастам $\tau$ в каждый момент времени $t$ так, что $x\left( {t,\tau } \right)d\tau$ - число ёжиков с возрастами, принадлежащими интервалу $\left[ {\tau ;\tau + d\tau } \right)$.

Используем правдоподобные рассуждения, порисуем картинки и тому подобное, пока не придём к задаче:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x_{,t} + x_{,\tau } = - f_ - \left( \tau \right)x,} & {t > 0,} & {\tau > 0} \\ {x\left( {0,\tau } \right) = x_0 \left( \tau \right)} & {\tau > 0} & {} \\ {x\left( {t,0} \right) = \int\limits_0^\infty {f_ + \left( \tau \right)x\left( {t,\tau } \right)d\tau } } & {t > 0} & {} \\ \end{array} } \right.$

Смысл введенных функций ясен из контекста, стоит отметить только невозможность вообще говоря задавать $x_0$ независимо от $f_ \pm$. Неудобство это можно обойти, ограничиваясь популяциями с неразмножающимися младенцами (вирусы в пролёте, но ёжики остаются). Тогда можно начать со слегка старшего нуля "Адама", который удовлетворяя условиям совместности проэволюционирует и запустит уже непротиворечивый процесс. Это, значится, было наговорено ежели кто численно порешать захотит.

Ну, там ещё $f_ \pm$ от популяции зависеть может и прочие усложнения...

§ Простые решения и некоторые комментарии к ним.

1. Необитаемый остров
Хотим, чтобы $x_{,t} = 0$.
Сие возможно, когда $\int\limits_0^\infty {f_ + \left( \tau \right)\exp \left[ { - \int\limits_0^\tau {f_ - \left( \xi \right)d\xi } } \right]} = 1$.
То есть, сильно не всегда.

Совету мудрых ёжиков нужно пристально следить за выполнением жёсткого равенства, своевременно корректируя его то болезнями да пожарами, то пароксизмами братской любви да заботой о дитЯх.

2. Традиционное общество
Это, стало быть, ежели усё как от дедов-прадедов заведено.
То есть, хотим, чтобы $\frac{{x\left( {t,\tau } \right)}}{{\int\limits_0^\infty {x\left( {t,\xi } \right)d\xi } }} = u\left( \tau \right)$.
Или, проще говоря, $x\left( {t,\tau } \right) = u\left( \tau \right)N\left( t \right)$, где $N\left( t \right) = \int\limits_0^\infty {x\left( {t,\xi } \right)d\xi } $.
Сие возможно, когда $\int\limits_0^\infty {f_ + \left( \tau \right)\exp \left[ { - \lambda \tau - \int\limits_0^\tau {f_ - \left( \xi \right)d\xi } } \right]} = 1$, где $\lambda$ - некая const.
При этом $N\left( t \right) = N_0 \exp \left( {\lambda t} \right)$.

Тут уже есть некое пространство для манёвра. Знай себе устои насаждай, но и мором/гладом равно как, впрочем, и праздничными раздачами слонов не брезговай. Ибо одно токмо сохранение устоев, к сожалению, не гарантирует $\lambda > 0$.

Кто добавит третий вариант?

[vvb]

Утундрий в сообщении #823232 писал(а):

Кто добавит третий вариант?

А альтернатива - это утки (с) анекдот

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #823232 писал(а):

Кто добавит третий вариант?

Ещё были бы интересны случаи:

3) Периодические колебания численности популяции (с частотой $\omega$ между $N_{\min}$ и $N_{\max}$).

4) Демографический взрыв: $x(t) \sim (t_{0} - t)^{-n}$

[prof.uskov]

Утундрий в сообщении #823232 писал(а):

Используем правдоподобные рассуждения, порисуем картинки и тому подобное, пока не придём к задаче:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x_{,t} + x_{,\tau } = - f_ - \left( \tau \right)x,} & {t > 0,} & {\tau > 0} \\ {x\left( {0,\tau } \right) = x_0 \left( \tau \right)} & {\tau > 0} & {} \\ {x\left( {t,0} \right) = \int\limits_0^\infty {f_ + \left( \tau \right)x\left( {t,\tau } \right)d\tau } } & {t > 0} & {} \\ \end{array} } \right.$

Смысл введенных функций ясен из контекста, стоит отметить только невозможность вообще говоря задавать $x_0$ независимо от $f_ \pm$.

Здесь, я понимаю, пара страниц "правдоподобных" и "очевидных" допущений пропущена?

[Утундрий]

Да где там страниц... Они распространяются, радиоактивно распадаясь, вдоль $t - \tau = const$ и одновременно все вместе дружно дают приплод в каждый момент $t$.

P.S. Может показаться, что 1 есть тривиальное следствие 2, но это немножко не так. В 1 распределение по возрастам может быть какое угодно, а в 2 нет.

[prof.uskov]

Утундрий в сообщении #823470 писал(а):

Да где там страниц... Они распространяются, радиоактивно распадаясь, вдоль $t - \tau = const$ и одновременно все вместе дружно дают приплод в каждый момент $t$.

Я может сильно недогадливый, но в первом из трех уравнений системы встречаются x со странными индексами t и тау, а также вообще без индекса, тогда как из дальнейшего следует, что x - это функция двух переменных. На счет функции f тоже не совсем понятно, то она и с "+" и "-", то только с одним знаком... и вообще, что это за функции?

[Munin]

В общем, экология, конечно, интересная штука, но с сурьёзными теорфизиками не сталкивалась, и там обычно обходились простыми дифференциальными уравнениями. А Утундрий сразу сплеча интегро-дифференциальное уравнение типа физической кинетики...

[prof.uskov]

Munin в сообщении #823561 писал(а):

В общем, экология, конечно, интересная штука, но с сурьёзными теорфизиками не сталкивалась, и там обычно обходились простыми дифференциальными уравнениями. А Утундрий сразу сплеча интегро-дифференциальное уравнение типа физической кинетики...

Сталкивались они со всем, еще какие модели рисуют, и классические, и нечеткие, и нейросетевые и фракталы...
Кстати, кто интересуется математическим моделированием (и не только экологии) рекомендую книжку
Тутубалин В.Н. и др. Математическое моделирование в экологии
http://www.twirpx.com/file/111618/
На меня произвела сильное впечатление в плане мировоззрения.

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #823232 писал(а):

$\int\limits_0^\infty {f_ + \left( \tau \right)\exp \left[ { - \lambda \tau - \int\limits_0^\tau {f_ - \left( \xi \right)d\xi } } \right]} = 1$

Если рассматривать эту формулу как уравнение для нахождения $\lambda$ при известных $f_{+}$ и $f_{-}$, то, гипотетически, оно может иметь несколько корней (в том числе комплексных).

При наличии $K$-корней, значит, будет: $x(t, \tau) = \sum\limits_{k=1}^{K} u_k (\tau) \, N_k \, e^{\lambda_k t}$.

[SergeyGubanov]

Вот, например, при $f_{+}(\tau) = 1$, $f_{-}(\tau) = \tau / (1 - \tau)$ есть два корня: $\lambda_1 = 1$ и $\lambda_2 = -0.793$.

Здесь я предположил, что при такой функции смертности дольше $\tau=1$ никто не живёт, так что интегралы по $\tau$ брал до $1$ вместо $\infty$.

[Dolopihtis]

Утундрий в сообщении #823232 писал(а):

Кто добавит третий вариант?

Например, самый простой $N = \operatorname{const} $.Тогда $\int{x_{,t}d\tau } = 0$ и $\int{x_{,\tau }d\tau } =\int{ - f_ - ( \tau )x d\tau } $. Полагая ${x( {t,\infty } ) = 0 $ , т.е. $x( {t,0}) =\int{ f_ - ( \tau )x d\tau } $ или $\int{f_ + ( \tau )x d\tau } =\int{ f_ - ( \tau )x d\tau }.
Т.е. общая рождаемость равна общей смертности

[Утундрий]

SergeyGubanov
Интеграл разве не расходящийся?

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #824705 писал(а):

SergeyGubanov
Интеграл разве не расходящийся?

Я предположил, что при такой функции смертности $f_{-}(\tau) = \tau / (1 - \tau)$ логично считать, что дольше $\tau = 1$ никто не живёт, поэтому интеграл по $\tau$ надо брать до $1$. При $f_{+}=1$ получаем:

$$ \int\limits_{0}^{1} \exp \left( - \lambda \tau - \int\limits_{0}^{\tau} \frac{\xi}{1 - \xi} d \xi \right) d\tau = 1 $$

$$ \int\limits_{0}^{1} \exp \left( (1 - \lambda) \tau \right) \left( 1 - \tau \right) d\tau = 1 $$

$$x = 1 - \lambda$$

$$ e^x = x^2 + x + 1 \quad \to \quad (\lambda_1 = 1, \, \lambda_2 = -0.7932821329007611). $$

[sergei1961]

Когда-то работал во Владивостоке в институте ИАПУ. Там была и наверное есть очень хорошая школа по динамическим системам в биологии. С приложениями к конкретным котикам и тд. И с очень серьёзной математикой. Можете посмотреть-там издано множество разных тематических сборников, а также несколько очень хороших книжек. Наверняка, эта деятельность продолжается. Кстати, основатель этой школы Шапиро (я его не застал, он уже уехал в) открыл и опубликовал те же закономерности и в тот же год, что и Фейгенбаум. Представляете, и всё это на котиках.

[Утундрий]

В данный момент мне интересна не столько экология сама по себе, сколько обоснованность того, с чего обычно начинает экология. Пока что непосредственного вывода некоего о.д.у. для средних я не вижу. Да, решение получается экспоненциальное. (или, с учётом замечания SergeyGubanov - мультиэкспоненциальное, но в асимптотике всё равно экспоненциальное, ибо максимальная лямбда пожирает все прочие). Но экспоненциальное оно не потому что выполняется о.д.у, а просто так получилось. Само по себе. У д.у. с запаздывающими аргументами тоже имеются в точности экспоненциальные (и даже более широкий класс почти экспоненциальных) решения. Нет никаких оснований предпочитать одно другому.