2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение06.02.2014, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Речь, конечно, пойдёт не о ёжиках... И даже не о той крутой книжке по экологии, которую автор сих букв открыл и закрыл, пообещай как-нибудь позже снова открыть, если повезёт (книжке). Сегодня мне хотелось бы поговорить об учёте личного возраста в моделировании роста популяции... ну, предположим, ёжиков. Гм. Речь всё же пойдёт о ёжиках. Ну, ёжики, так ёжики...

Итак, ёжики. Они рождаются, взрослеют, начинают размножаться и после этого диссипируют в гумус. Гумус мы рассматривать не будем, а сосредоточимся на ёжиках.

Охарактеризуем популяцию ёжиков функцией распределения по возрастам $\tau$ в каждый момент времени $t$ так, что $x\left( {t,\tau } \right)d\tau$ - число ёжиков с возрастами, принадлежащими интервалу $\left[ {\tau ;\tau  + d\tau } \right)$.

Используем правдоподобные рассуждения, порисуем картинки и тому подобное, пока не придём к задаче:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {x_{,t}  + x_{,\tau }  =  - f_ -  \left( \tau  \right)x,} & {t > 0,} & {\tau  > 0}  \\   {x\left( {0,\tau } \right) = x_0 \left( \tau  \right)} & {\tau  > 0} & {}  \\   {x\left( {t,0} \right) = \int\limits_0^\infty  {f_ +  \left( \tau  \right)x\left( {t,\tau } \right)d\tau } } & {t > 0} & {}  \\ \end{array} } \right.$

Смысл введенных функций ясен из контекста, стоит отметить только невозможность вообще говоря задавать $x_0$ независимо от $f_ \pm$. Неудобство это можно обойти, ограничиваясь популяциями с неразмножающимися младенцами (вирусы в пролёте, но ёжики остаются). Тогда можно начать со слегка старшего нуля "Адама", который удовлетворяя условиям совместности проэволюционирует и запустит уже непротиворечивый процесс. Это, значится, было наговорено ежели кто численно порешать захотит.

Ну, там ещё $f_ \pm$ от популяции зависеть может и прочие усложнения...

§ Простые решения и некоторые комментарии к ним.

1. Необитаемый остров
Хотим, чтобы $x_{,t}  = 0$.
Сие возможно, когда $\int\limits_0^\infty  {f_ +  \left( \tau  \right)\exp \left[ { - \int\limits_0^\tau  {f_ -  \left( \xi  \right)d\xi } } \right]}  = 1$.
То есть, сильно не всегда.

Совету мудрых ёжиков нужно пристально следить за выполнением жёсткого равенства, своевременно корректируя его то болезнями да пожарами, то пароксизмами братской любви да заботой о дитЯх.

2. Традиционное общество
Это, стало быть, ежели усё как от дедов-прадедов заведено.
То есть, хотим, чтобы $\frac{{x\left( {t,\tau } \right)}}{{\int\limits_0^\infty  {x\left( {t,\xi } \right)d\xi } }} = u\left( \tau  \right)$.
Или, проще говоря, $x\left( {t,\tau } \right) = u\left( \tau  \right)N\left( t \right)$, где $N\left( t \right) = \int\limits_0^\infty  {x\left( {t,\xi } \right)d\xi } $.
Сие возможно, когда $\int\limits_0^\infty  {f_ +  \left( \tau  \right)\exp \left[ { - \lambda \tau  - \int\limits_0^\tau  {f_ -  \left( \xi  \right)d\xi } } \right]}  = 1$, где $\lambda$ - некая const.
При этом $N\left( t \right) = N_0 \exp \left( {\lambda t} \right)$.

Тут уже есть некое пространство для манёвра. Знай себе устои насаждай, но и мором/гладом равно как, впрочем, и праздничными раздачами слонов не брезговай. Ибо одно токмо сохранение устоев, к сожалению, не гарантирует $\lambda  > 0$.

Кто добавит третий вариант?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножяются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение06.02.2014, 12:16 


25/08/08
545
Утундрий в сообщении #823232 писал(а):
Кто добавит третий вариант?

А альтернатива - это утки (с) анекдот

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножяются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение06.02.2014, 17:34 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Утундрий в сообщении #823232 писал(а):
Кто добавит третий вариант?
Ещё были бы интересны случаи:

3) Периодические колебания численности популяции (с частотой $\omega$ между $N_{\min}$ и $N_{\max}$).

4) Демографический взрыв: $x(t) \sim (t_{0} - t)^{-n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножяются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение06.02.2014, 18:16 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Утундрий в сообщении #823232 писал(а):
Используем правдоподобные рассуждения, порисуем картинки и тому подобное, пока не придём к задаче:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {x_{,t}  + x_{,\tau }  =  - f_ -  \left( \tau  \right)x,} & {t > 0,} & {\tau  > 0}  \\   {x\left( {0,\tau } \right) = x_0 \left( \tau  \right)} & {\tau  > 0} & {}  \\   {x\left( {t,0} \right) = \int\limits_0^\infty  {f_ +  \left( \tau  \right)x\left( {t,\tau } \right)d\tau } } & {t > 0} & {}  \\ \end{array} } \right.$

Смысл введенных функций ясен из контекста, стоит отметить только невозможность вообще говоря задавать $x_0$ независимо от $f_ \pm$.

Здесь, я понимаю, пара страниц "правдоподобных" и "очевидных" допущений пропущена?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение06.02.2014, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Да где там страниц... Они распространяются, радиоактивно распадаясь, вдоль $t - \tau  = const$ и одновременно все вместе дружно дают приплод в каждый момент $t$.

P.S. Может показаться, что 1 есть тривиальное следствие 2, но это немножко не так. В 1 распределение по возрастам может быть какое угодно, а в 2 нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение06.02.2014, 21:10 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Утундрий в сообщении #823470 писал(а):
Да где там страниц... Они распространяются, радиоактивно распадаясь, вдоль $t - \tau  = const$ и одновременно все вместе дружно дают приплод в каждый момент $t$.

Я может сильно недогадливый, но в первом из трех уравнений системы встречаются x со странными индексами t и тау, а также вообще без индекса, тогда как из дальнейшего следует, что x - это функция двух переменных. На счет функции f тоже не совсем понятно, то она и с "+" и "-", то только с одним знаком... и вообще, что это за функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение06.02.2014, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В общем, экология, конечно, интересная штука, но с сурьёзными теорфизиками не сталкивалась, и там обычно обходились простыми дифференциальными уравнениями. А Утундрий сразу сплеча интегро-дифференциальное уравнение типа физической кинетики...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение06.02.2014, 23:09 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Munin в сообщении #823561 писал(а):
В общем, экология, конечно, интересная штука, но с сурьёзными теорфизиками не сталкивалась, и там обычно обходились простыми дифференциальными уравнениями. А Утундрий сразу сплеча интегро-дифференциальное уравнение типа физической кинетики...

Сталкивались они со всем, еще какие модели рисуют, и классические, и нечеткие, и нейросетевые и фракталы...
Кстати, кто интересуется математическим моделированием (и не только экологии) рекомендую книжку
Тутубалин В.Н. и др. Математическое моделирование в экологии
http://www.twirpx.com/file/111618/
На меня произвела сильное впечатление в плане мировоззрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение07.02.2014, 10:10 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Утундрий в сообщении #823232 писал(а):
$\int\limits_0^\infty  {f_ +  \left( \tau  \right)\exp \left[ { - \lambda \tau  - \int\limits_0^\tau  {f_ -  \left( \xi  \right)d\xi } } \right]}  = 1$
Если рассматривать эту формулу как уравнение для нахождения $\lambda$ при известных $f_{+}$ и $f_{-}$, то, гипотетически, оно может иметь несколько корней (в том числе комплексных).

При наличии $K$-корней, значит, будет: $x(t, \tau) = \sum\limits_{k=1}^{K} u_k (\tau) \, N_k \, e^{\lambda_k t}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение07.02.2014, 13:38 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Вот, например, при $f_{+}(\tau) = 1$, $f_{-}(\tau) = \tau / (1 - \tau)$ есть два корня: $\lambda_1 = 1$ и $\lambda_2 = -0.793$.

Здесь я предположил, что при такой функции смертности дольше $\tau=1$ никто не живёт, так что интегралы по $\tau$ брал до $1$ вместо $\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение08.02.2014, 00:15 


17/01/06
180
я не знаю откуда я пришел,куда я иду, и даже кто я такой
Утундрий в сообщении #823232 писал(а):
Кто добавит третий вариант?

Например, самый простой $N = \operatorname{const} $.Тогда $\int{x_{,t}d\tau  } = 0$ и $\int{x_{,\tau }d\tau  } =\int{ - f_ -  ( \tau  )x d\tau  } $. Полагая ${x( {t,\infty   } ) = 0 $ , т.е. $x( {t,0}) =\int{ f_ -  ( \tau  )x d\tau  } $ или $\int{f_ +  ( \tau  )x d\tau  } =\int{  f_ -  ( \tau  )x d\tau  }.
Т.е. общая рождаемость равна общей смертности

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение09.02.2014, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
SergeyGubanov
Интеграл разве не расходящийся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение10.02.2014, 11:01 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Утундрий в сообщении #824705 писал(а):
SergeyGubanov
Интеграл разве не расходящийся?
Я предположил, что при такой функции смертности $f_{-}(\tau) = \tau / (1 - \tau)$ логично считать, что дольше $\tau = 1$ никто не живёт, поэтому интеграл по $\tau$ надо брать до $1$. При $f_{+}=1$ получаем:
$$
\int\limits_{0}^{1} \exp \left( - \lambda \tau - \int\limits_{0}^{\tau} \frac{\xi}{1 - \xi} d \xi  \right) d\tau = 1
$$
$$
\int\limits_{0}^{1} \exp \left( (1 - \lambda) \tau \right) \left( 1 - \tau \right) d\tau = 1
$$
$$x = 1 - \lambda$$
$$
e^x = x^2 + x + 1 \quad \to \quad (\lambda_1 = 1, \, \lambda_2 = -0.7932821329007611).
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение10.02.2014, 12:24 


25/08/11

1074
Когда-то работал во Владивостоке в институте ИАПУ. Там была и наверное есть очень хорошая школа по динамическим системам в биологии. С приложениями к конкретным котикам и тд. И с очень серьёзной математикой. Можете посмотреть-там издано множество разных тематических сборников, а также несколько очень хороших книжек. Наверняка, эта деятельность продолжается. Кстати, основатель этой школы Шапиро (я его не застал, он уже уехал в) открыл и опубликовал те же закономерности и в тот же год, что и Фейгенбаум. Представляете, и всё это на котиках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как размножаются ёжики? (дилетантские заметки)
Сообщение12.02.2014, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
В данный момент мне интересна не столько экология сама по себе, сколько обоснованность того, с чего обычно начинает экология. Пока что непосредственного вывода некоего о.д.у. для средних я не вижу. Да, решение получается экспоненциальное. (или, с учётом замечания SergeyGubanov - мультиэкспоненциальное, но в асимптотике всё равно экспоненциальное, ибо максимальная лямбда пожирает все прочие). Но экспоненциальное оно не потому что выполняется о.д.у, а просто так получилось. Само по себе. У д.у. с запаздывающими аргументами тоже имеются в точности экспоненциальные (и даже более широкий класс почти экспоненциальных) решения. Нет никаких оснований предпочитать одно другому.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group