Найти норму функционала в C(1)[-1,1]

[mev12]

Доброго времени суток, коллеги.
Обращаюсь с вопросом. Необходимо найти норму функционала L: C^{(1)}[-1,1]\to R (в пространстве дифференцируемых функций), L(x)=\int_{-1}^1 e^{-t}x(t)dt-x(-1).
Мне удалось получить верхнюю оценку |L(x)|\leqslant(e-e^{-1}+1)||x||. Но не удалось подобрать ни одну функцию с единичной нормой, на которой бы функционал достигал такого значения. Максимум, что получилось - это $e-e^{-1}-1$. Такое впечатление, что верхнюю оценку можно понизить, но как? Буду признательна за любые комментарии.
С уважением.

[ewert]

mev12 в сообщении #822367 писал(а):

Такое впечатление, что верхнюю оценку можно понизить, но как?

Сначала надо определиться, что такое норма в этом пространстве -- её ведь можно по-разному задавать (как минимум тремя достаточно естественными способами), а от этого выбора зависит норма функционала. Кроме того: там, под интегралом, что -- и впрямь стоит именно $e^{-1}$? Обычно так не бывает.

[mev12]

Да, опечатка. Спасибо. Исправила. Конечно, $e^{-t}$.
В задании не указано конкретно, какую норму использовать. Мои выкладки сделаны для нормы $||x||=\max\{|x(t)|,|x'(t)|\}$. И конкретно та функция, на которой функционал достигает значение $e-e^{-1}-1$ - это $x(t)=1$.

[ewert]

mev12 в сообщении #822380 писал(а):

Мои выкладки сделаны для нормы $||x||=\max\{|x(t)|,|x'(t)|\}$.

Это неаккуратная запись: что в точности означает $\max$ -- можно только догадываться.

Если же предположить, что мы всё-таки догадались, то -- нет, не на единичке.

[mev12]

Норма такая - $\max_{t\in[-1,1]}\{|x(t)|,|x'(t)|\}$.
И я говорю, что на единице ($x(t)=1$) значение функционала $(e-e^{-1}+1)$ не достигается. Хотелось бы найти функцию, на которой функционал бы принял все-таки это значение. Можете, подсказать в каком направлении двигаться? С уважением.

-- Пн фев 03, 2014 23:44:45 --

Идеально бы подошла такая функция:
$x_0(t)=\begin{cases}1,&t\in(-1,1],\\-1,&t=-1\end{cases}$
но она не принадлежит пространству. Можно ли построить функциональную последовательность $x_n(t)\in C^{(1)}([-1,1])$, сходящуюся к $x_0(t)$, да еще, чтобы $\lim_{n\to\infty}|L(x_n)|/||x_n||\to e-e^{-1}+1$ ?

[Otta]

mev12 в сообщении #822483 писал(а):

Можно ли построить функциональную последовательность

Раз идеально подошла бы - то нужно.

[ewert]

mev12 в сообщении #822483 писал(а):

Норма такая - $\max_{t\in[-1,1]}\{|x(t)|,|x'(t)|\}$.

Это тоже неправильная запись. Ну да бог с нею; допустим, мы нечаянно догадались, что имелся в виду максимум из двух максимумов.

Тогда так. Зафиксируйте значение функции в минус единичке. И посмотрите, в каких пределах может меняться значение функционала, если та функция не выходит за пределы единичного шара в смысле именно этой нормы. И на каких предельных (в рамках шара) функциях эти предельные значения как бы достигаются -- это легко. ("Как бы" -- поскольку те предельные функции пространству принадлежать не будут, но это не важно.)

Ну а потом просто максимизируйте найденные предельные значения функционала по всем допустимым значениям функции в минус единичке. Точка максимума окажется заранее не очевидной (хотя находится и легко).

И да: те предельные функции -- естественно, ни разу не ступеньки. Ибо это было бы уж совсем уж чересчур. У ступенек производные (что бы под ними ни понималось) -- как бы бесконечны. И это уж слишком: в пространстве-то они ограниченны, и сильно так ограниченны.

[mev12]

Какие я придумала функции с единичной нормой: $\pm1$, $\pm t$, кусочно-линейные - комбинации указанных на отрезках [-1,0], [0,1]; $\arctan(at)$; $e^{\pm t-1}$, куски полиномов. Варьирование левого конца этих функций (где это возможно) с целью увеличения значения функционала привело к предельной функции $x(t)=1$, функционал на которой равен $e-e^{-1}-1$ - это наибольшее значение, которое мне удалось получить. Из следующих соображений - т.к. функция $e^{-t}$ положительна, то интеграл будет максимальным при положительных $x(t)$, но при этом отнимание $x(-1)$ уменьшает функционал. Для всех попробованных мною функций увеличение (от нуля) значения $x(-1)$ приводит к более медленному уменьшению функционала за счет второго слагаемого по сравнению с увеличением за счет интеграла (первого слагаемого). А это приводит к единице. Может, эти соображения можно как-то применить с целью уменьшения верхней оценки. Все-таки меня не покидают мысли, что верхняя оценка завышена.
Если все-таки допустить, что верхняя оценка и есть норма, то упомянутая ранее функция $x_0(t)$ доставляет максимум $e-e^{-1}+1$. Вообще говоря, "плоховатая" функция. Попыталась построить последовательность $x_\epsilon (t)=\begin{cases}\bar{x}_\epsilon(t),&t\in[-1,-1+\epsilon],\\1,&t\in(-1+\epsilon,1].\end{cases}$,
где $\bar x_\epsilon(-1)=-1$, $\bar x_\epsilon(-1+\epsilon)=1$, $\bar x'_\epsilon(-1+\epsilon)=0$, т.е. принадлежит $C^{(1)}([-1,1])$. Получились почти ступеньки. Эти функции не "единичные", ну и ладно - поделим на их норму. Очевидно при $\epsilon\to 0$ производные $x'_\epsilon(t)\to\infty$, а значит, и норма $||x_\epsilon||\to\infty$, а значит, они только уменьшают норму функционала (т.к. делим на норму функции). Увы. Вот тут у меня и затык ;(

[ewert]

Пусть для начала, к примеру, $x(-1)=\frac12$. Если такая функция принадлежит единичному шару, то каким может быть её график (чем он ограничен сверху и снизу)?...

[mev12]

Зафиксировала точку $x(-1)=a$. Построим семейство функций $x(t):\; |x|\leqslant 1,\;|x’|\leqslant 1,\;x(-1)=a$. Предельными функциями для такого семейства будут:
максимальная $\bar x(t)=\begin{cases}1+a+t,&t\in[-1,-a],\\1,&t\in(-a,1],\end{cases}$
минимальная $\underline x(t)=\begin{cases}-1+a-t,&t\in[-1,a],\\-1,&t\in(a,1].\end{cases}$
т.е. кусок линейный с $|x'(t)|=1$ и константа $\pm 1$. Они непрерывные, но не гладкие.
Ищем значения функционала на этих функциях и максимизируем при $a\in [-1,1]$. Оба имеют один экстремум $l^*=(e-1)\ln(e-1)-e^{-1}+1$ при $a=\ln(e-1)$, и $e-e^{-1}-1<l^*<l_\max$, $l_{\max} =e-e^{-1}+1$. Признаюсь, неожиданный для меня результат.
Но все равно $l^*$ еще далеко от $l_\max$, т.к. $e-e^{-1}-1\approx 1.35$, $l^*\approx 1.56$, $l_{\max}\approx 3.35$.
На мой взгляд, все возможные варианты подходящих функций $x(t)$ исчерпаны.

-- Вт фев 04, 2014 16:59:52 --

Если предположить, что $l^*$ и есть искомая норма, то тогда каким образом уменьшить верхнюю оценку $l_{\max}$?

[ewert]

mev12 в сообщении #822643 писал(а):

экстремум $l^*=(e-1)\ln(e-1)-e^{-1}+1$ при $a=\ln(e-1)$,

Функции правильные, а вот экстремум -- нет. У Вас получается норма $1.562$, но даже для просто $x(t)=t$ (т.е. при $a=-1$) будет $2e^{-1}+1=1.735$, т.е. больше. У меня получилось $(e^{-1}+1)\ln(e^{-1}+1)+e-1=2.146$ при $a=1-\ln(e+1)$, хотя и не уверен, что не напутал в арифметике (особенно в самой норме).

[mev12]

Увы. Для функции $x(t)=t$ функционал имеет значение $1-2e^{-1}<1$ (а полученное Вами $1+2e^{-1}$ видимо при $e^t$ в интеграле). Похоже, что и другие Ваши результаты тоже для $e^t$. Перепроверила свои вычисления - все правильно (да, здравствует Maple). Но это не меняет сути. Нижняя оценка меньше верхней ;( Я уже склоняюсь к тому, что это и будет норма. Как теперь понизить оценку сверху?
С уважением.

[ewert]

mev12 в сообщении #822679 писал(а):

(а полученное Вами $1+2e^{-1}$ видимо при $e^t$ в интеграле).

Это правда. А если там $e^{-t}$, то у Вас всё верно. А вот о какой оценке сверху Вы говорите -- не понимаю. Вы получили экстремум? -- получили; чего ещё нужно?...

[mev12]

Да, Вы правы. Ведь я рассмотрела все возможные функции $x(t):\;||x||\leqslant 1$ и из них нашла ту (в пределе), на которой функционал достигает максимума. Вот и все решение.
Спасибо! А Вы что, с самого начала знали решение?! :) А я голову сломала. Всего хорошего.
С уважением.

[ewert]

mev12 в сообщении #822762 писал(а):

А Вы что, с самого начала знали решение?! :)

Нет, не знал. А Вы постарайтесь теперь эти (пусть и достаточно очевидные) соображения насчёт "предельности" тех функций аккуратно формализовать. Удачи.