диофантово уравнение

[B@R5uk]

Брутфорсом нашёл несколько нетривиальных (в плане сократимости) серий решений. Вот одна из них:

$$\begin{align} & x=5{{n}^{2}}+4nm-7{{m}^{2}} \\ & y=3{{n}^{2}}-8nm+{{m}^{2}} \\ & z={{n}^{2}}-nm+{{m}^{2}} \end{align}$$

Проверьте, не ошибся ли где.

-- 02.02.2014, 00:28 --

Вот ещё одна серия:

$$\begin{align} & x=5{{n}^{2}}+2nm-31{{m}^{2}} \\ & y=3{{n}^{2}}+22nm+23{{m}^{2}} \\ & z={{n}^{2}}+4nm+7{{m}^{2}} \end{align}$$

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #821015 писал(а):

B@R5uk,
и как же решить уравнение $x^2+3y^2=52t^2$ в целых числах?

$52^2=2^2+3\cdot 4^2=5^2+3\cdot 3^2=7^2+3\cdot 1^2$
$t^2\rightarrow \left( \frac{p^2+3q^2}{2}\right)^2=\left( \frac{p^2-3q^2}{2}\right)^2+3(pq)^2$
Разве такая замена не дает всех решений?

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #821873 писал(а):

Разве такая замена не дает всех решений?

Возможно, но нужно проверять. Обычно ответ "составной", одной формулой не обойдёшься.

[Andrey A]

Вах.

[B@R5uk]

Andrey A в сообщении #821873 писал(а):

$$52^2=2^2+3\cdot 4^2=5^2+3\cdot 3^2=7^2+3\cdot 1^2$$

По-моему так:

$$52^2=2704\ne52=2^2+3\cdot 4^2=5^2+3\cdot 3^2=7^2+3\cdot 1^2$$

Andrey A в сообщении #821873 писал(а):

$t^2\rightarrow \left( \frac{p^2+3q^2}{2}\right)^2=\left( \frac{p^2-3q^2}{2}\right)^2+3(pq)^2$

А куда 52 делось?

Andrey A в сообщении #821873 писал(а):

Разве такая замена не дает всех решений?

Какая именно замена? Распишите по-подробнее, пожалуйста.

[Fedya]

Тоже интересно

[Andrey A]

B@R5uk в сообщении #822098 писал(а):

Какая именно замена? Распишите по-подробнее, пожалуйста.

Имелось ввиду применение тождества $(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=(ac\pm 3bd)^2+3(ad\mp bc)^2.$
$52^2$ - ошибка, конечно.

[B@R5uk]

Andrey A в сообщении #822607 писал(а):

Имелось ввиду применение тождества

Опа! Это сильно, однако. Как оно выводится?

[apriv]

B@R5uk в сообщении #822725 писал(а):

Опа! Это сильно, однако. Как оно выводится?

А вот так: норма конечного расширения мультипликативна.

[Sonic86]

B@R5uk в сообщении #822725 писал(а):

Опа! Это сильно, однако. Как оно выводится?

Рассмотрите кольцо $\{a+b\sqrt{-3},a,b\in\mathbb{Z}\}$ и рассмотрите отображение $N(\alpha)=\alpha\bar\alpha,$ где $\bar\alpha$ - комплексное сопряжение $\alpha$.

[Andrey A]

B@R5uk в сообщении #822725 писал(а):

Как оно выводится?

Можно по старинке из более общего:
$(ax_1^2+by_1^2)(ax_2^2+by_2^2)=(ax_1x_2\pm by_1y_2)^2+ab(x_1y_2\mp x_2y_1)^2$
А это из еще более общего:
$(acx_1^2+bdy_1^2)(bcx_2^2+ady_2^2)=ab(cx_1x_2\pm dy_1y_2)^2+cd(ax_1y_2\mp bx_2y_1)^2$
A можно к умножению определителей второго порядка свести, тогда вообще становится неинтересно.