2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение01.02.2014, 23:18 
Аватара пользователя
Брутфорсом нашёл несколько нетривиальных (в плане сократимости) серий решений. Вот одна из них:
$$\begin{align}
  & x=5{{n}^{2}}+4nm-7{{m}^{2}} \\ 
 & y=3{{n}^{2}}-8nm+{{m}^{2}} \\ 
 & z={{n}^{2}}-nm+{{m}^{2}}  
\end{align}$$
Проверьте, не ошибся ли где.

-- 02.02.2014, 00:28 --

Вот ещё одна серия:

$$\begin{align}
  & x=5{{n}^{2}}+2nm-31{{m}^{2}} \\ 
 & y=3{{n}^{2}}+22nm+23{{m}^{2}} \\ 
 & z={{n}^{2}}+4nm+7{{m}^{2}}  
\end{align}$$

 
 
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение02.02.2014, 11:29 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #821015 писал(а):
B@R5uk,
и как же решить уравнение $x^2+3y^2=52t^2$ в целых числах?

$52^2=2^2+3\cdot 4^2=5^2+3\cdot 3^2=7^2+3\cdot 1^2$
$t^2\rightarrow \left( \frac{p^2+3q^2}{2}\right)^2=\left( \frac{p^2-3q^2}{2}\right)^2+3(pq)^2$
Разве такая замена не дает всех решений?

 
 
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение02.02.2014, 11:35 
Andrey A в сообщении #821873 писал(а):
Разве такая замена не дает всех решений?
Возможно, но нужно проверять. Обычно ответ "составной", одной формулой не обойдёшься.

 
 
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение02.02.2014, 11:40 
Аватара пользователя
Вах.

 
 
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение02.02.2014, 20:55 
Аватара пользователя
Andrey A в сообщении #821873 писал(а):
$$52^2=2^2+3\cdot 4^2=5^2+3\cdot 3^2=7^2+3\cdot 1^2$$
По-моему так:
$$52^2=2704\ne52=2^2+3\cdot 4^2=5^2+3\cdot 3^2=7^2+3\cdot 1^2$$
Andrey A в сообщении #821873 писал(а):
$t^2\rightarrow \left( \frac{p^2+3q^2}{2}\right)^2=\left( \frac{p^2-3q^2}{2}\right)^2+3(pq)^2$
А куда 52 делось?
Andrey A в сообщении #821873 писал(а):
Разве такая замена не дает всех решений?
Какая именно замена? Распишите по-подробнее, пожалуйста.

 
 
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение03.02.2014, 16:55 
Тоже интересно

 
 
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение04.02.2014, 13:48 
Аватара пользователя
B@R5uk в сообщении #822098 писал(а):
Какая именно замена? Распишите по-подробнее, пожалуйста.

Имелось ввиду применение тождества $(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=(ac\pm 3bd)^2+3(ad\mp bc)^2.$
$52^2$ - ошибка, конечно.

 
 
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение04.02.2014, 17:37 
Аватара пользователя
Andrey A в сообщении #822607 писал(а):
Имелось ввиду применение тождества
Опа! Это сильно, однако. Как оно выводится?

 
 
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение04.02.2014, 17:57 
B@R5uk в сообщении #822725 писал(а):
Опа! Это сильно, однако. Как оно выводится?

А вот так: норма конечного расширения мультипликативна.

 
 
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение04.02.2014, 18:05 
B@R5uk в сообщении #822725 писал(а):
Опа! Это сильно, однако. Как оно выводится?
Рассмотрите кольцо $\{a+b\sqrt{-3},a,b\in\mathbb{Z}\}$ и рассмотрите отображение $N(\alpha)=\alpha\bar\alpha,$ где $\bar\alpha$ - комплексное сопряжение $\alpha$.

 
 
 
 Re: диофантово уравнение
Сообщение04.02.2014, 18:08 
Аватара пользователя
B@R5uk в сообщении #822725 писал(а):
Как оно выводится?

Можно по старинке из более общего:
$(ax_1^2+by_1^2)(ax_2^2+by_2^2)=(ax_1x_2\pm by_1y_2)^2+ab(x_1y_2\mp x_2y_1)^2$
А это из еще более общего:
$(acx_1^2+bdy_1^2)(bcx_2^2+ady_2^2)=ab(cx_1x_2\pm dy_1y_2)^2+cd(ax_1y_2\mp bx_2y_1)^2$
A можно к умножению определителей второго порядка свести, тогда вообще становится неинтересно.

 
 
 [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group