об уравнении Навье-Стокса

[vicvolf]

Хочу вернуться немного назад и заранее прошу прощения, если не совсем прав.

sup в сообщении #814386 писал(а):

Вопрос , как мне кажется, не в этом, а вот в чем. Предположим, кому-нибудь удастся предъявить пример, когда гладкое решение во всем пространстве с непериодическим давлением существует, а с периодическим нет. Что мы в этом случае должны делать?

Для доказательства отсутствия гладкого решения во всем пространстве с периодическим давлением достаточно доказать отсутствие гладкого решения в конечной области пространства, т.е. в частном случае. Можно вообще ничего не доказывать, а просто привести пример для одного случая, удовлетворяющего данным условиям. А вот доказывать существование решения нужно для всего пространства и тут примером не обойдешься.

Цитата:

Возможны два варианта.
1. Объявить такое решение ересью или нефизичным, вроде "неэнтропийных" разрывных решений уравнения Хопфа.
2. Допустить такие решения, хотя бы и ценой потери единственности.
По идее, критерий тут простой. Можно ли наблюдать такие решения на практике или нет?

Думаю это не критерий. Задача состоит в том, чтобы исследовать конкретную математическую модель, поэтому правильным является выбор варианта 2. Доказательство отсутствия гладкого решения в частном случае с периодическим давлением или нахождение контрпримера является также решением данной проблемы.

[docent13]

если есть ощибка то надо искать на стр-х 29, 37, 43, 66. Здравый смысль подсказывает при оценке коэффициентов появились фикцированные числа, например 250, 4000, 16000 и т.д. в формулировке задач 1.1-1.4 их нет, в процессе доказательств лемм и утверждений они появились...если теория верна то только должны присутствовать 0,1 и бесконечность или число Re. тогда можно было бы назвать решение глобальным а не частным...
общеизвестно что постоянные фиксированные константы это физические параметры...

[shwedka]

Цитата:

.если теория верна то только должны присутствовать 0,1 и бесконечность или число

: утверждение не доказано.
должны

docent13 в сообщении #822489 писал(а):

общеизвестно что постоянные фиксированные константы это физические параметры

Подтверждение этого утверждения отсутствует

[Red_Herring]

vicvolf в сообщении #822472 писал(а):

Хочу вернуться немного назад и заранее прошу прощения, если не совсем прав.

sup в сообщении #814386 писал(а):

Вопрос , как мне кажется, не в этом, а вот в чем. Предположим, кому-нибудь удастся предъявить пример, когда гладкое решение во всем пространстве с непериодическим давлением существует, а с периодическим нет. Что мы в этом случае должны делать?

Для доказательства отсутствия гладкого решения во всем пространстве с периодическим давлением достаточно доказать отсутствие гладкого решения в конечной области пространства, т.е. в частном случае. Можно вообще ничего не доказывать, а просто привести пример для одного случая, удовлетворяющего данным условиям. А вот доказывать существование решения нужно для всего пространства и тут примером не обойдешься.

Цитата:

Возможны два варианта.
1. Объявить такое решение ересью или нефизичным, вроде "неэнтропийных" разрывных решений уравнения Хопфа.
2. Допустить такие решения, хотя бы и ценой потери единственности.
По идее, критерий тут простой. Можно ли наблюдать такие решения на практике или нет?

Думаю это не критерий. Задача состоит в том, чтобы исследовать конкретную математическую модель, поэтому правильным является выбор варианта 2. Доказательство отсутствия гладкого решения в частном случае с периодическим давлением или нахождение контрпримера является также решением данной проблемы.

А что такое гладкое решение с непериодическим давлением? Скорости как я понимаю периодичны, т.е. давление--линейная+периодическая функция. Во всем пространстве представляется не очень физическим. С другой стороны, могут найтись негладкие но более "физические" решения.

Если "Великая Гипотеза Отелбаева" верна, то проблема решена и решивший получает 1мегадоллар. Если же гипотеза опровергнута, то не уверен насчет 1мегадоллара, но проблема не решена в том смысле, что возникает новая проблема. И если при этом возникают неединственные негладкие решения то желательно наложив какое-либо условие выбрать "единственно верное". Или понять, что такого естественного условия нет.

[cristine]

Цитата:

Мой вопрос в одном из постов не зря был поставлен: сколько лет Отелбаеву? Иными словами, сможет ли он в светлом уме брать свое измором и как долго?

Ему 71. Вопрос лучше задать: сможет ли он в светлом уме с репутацией Гордости Нации и Великого Мыслителя Степи честно публично признаться в ошибке. На Ваш вопрос ответ очевидный.

В результате глубокого стилистического анализа выяснилось, что almatynets это ...

Toucan:

См. post822603.html#p822603
Часть сообщения удалена

[rtfai]

Здесь поднимался вопрос о возможном практическом применении рассматриваемой постановки. Можно предложить следующее:

Пусть у нас есть задача обтекания тела в безграничном потоке жидкости. Пусть длина хорды равна $L$ и $x=0$ отвечает координате передней кромки, а слой $x=-KL,x=KL$ это расчетная область. Пусть в качестве краевого условия на входе задана скорость $V(t)$, а скорости при $y,z$ стремящимся к бесконечности в слое стремятся к $V$. Проблема заключается в постановке граничных условий при $x=KL$, где $K$ достаточно большое, т.к любое конкретное задание приводит к парадоксам типа парадокса Мизеса или к неверным значения параметров потока на теле. Можно поступить так же, как в случае решения задачи нестационарного обтекания в дозвуковом потоке газа, склеивать решение в области с решением в дальнем поле. Конечно, УНС не будет выполняться на поверхности склейки, но можно реализовать итерационную процедуру, например, индуцируя граничные условия с разных сторон на поверхность, с дальнейшим усреднением на поверхности склейки и если приближения решения будут ограничены, то по лемме Больцано можно получить в пределе какое-то гладкое решение.

Конечно, здесь нет никакого доказательства, но было бы интересно проэкспериментировать даже в двумерном случае, интегрируя с малым шагом от правой границы.

PS Спасибо за ссылку.

[vicvolf]

Red_Herring в сообщении #822504 писал(а):

Если же гипотеза опровергнута, то не уверен насчет 1мегадоллара, но проблема не решена в том смысле, что возникает новая проблема. И если при этом возникают неединственные негладкие решения то желательно наложив какое-либо условие выбрать "единственно верное". Или понять, что такого естественного условия нет.

Если в этом случае возникают неединственные решения, то если это возможно, то показать, при каких условиях будут единственные решения. Но показать единственно верное не удасться, так как нет критерия верности. Физический смысл, как критерий верности в решении данной проблемы, не подходит!

[Red_Herring]

vicvolf в сообщении #822586 писал(а):

Red_Herring в сообщении #822504 писал(а):

Если же гипотеза опровергнута, то не уверен насчет 1мегадоллара, но проблема не решена в том смысле, что возникает новая проблема. И если при этом возникают неединственные негладкие решения то желательно наложив какое-либо условие выбрать "единственно верное". Или понять, что такого естественного условия нет.

Если в этом случае возникают неединственные решения, то если это возможно, то показать, при каких условиях будут единственные решения. Но показать единственно верное не удасться, так как нет критерия верности. Физический смысл, как критерий верности в решении данной проблемы, не подходит!

(Квази)физический смысл поможет нам сформулировать определение, что такое "верное" решение. В УЧП процесс идет в двух направлениях--расширение классов возможных решений (слабые, обобщенные функции, гиперфункции,…) и сужение и классов возможных решений:

Пример 1. Уже упоминавшееся уравнение Хопфа и условие невозрастания энтропии

Пример 2. Всем известное уравнение теплопроводности. Как хорошо известно задача Коши для него во всем пространстве (по $x$) имеет неединственное решение. Однако если мы рассмотрим не слишком быстро растущие на бесконечности (по $x$) решения, или полуограниченные (не говоря уже о более сильных ограничениях), то наступает единственность—и именно при подобных ограничениях она изучается в большинстве работ и в учебниках. Большинство неспециалистов даже не подозревает о неединственности в слишком больших классах.

Пример 3. Всем известные уравнения Лапласа и Гельмгольца в $\mathbb{R}^3$. Опять-таки условия на бесконечности (соответственно, поведение как у кулоновского потенциала и условия Зоммерфельда) выделяют класс "интересных" решений.

Выделение класса интересных решений отнюдь не означает обязательно, что других решений изучать не будут.

[Toucan]

cristine в сообщении #822549 писал(а):

В результате глубокого стилистического анализа выяснилось, что almatynets это...

cristine, предупреждение за разглашение персональной информации третьих лиц.

Forum Administration в Правилах форума писал(а):

1) Нарушением считается:
...
в) Размещение персональной информации третьих лиц ...

Часть сообщения удалена.

[temp03]

(Оффтоп)

cristine в сообщении #822549 писал(а):

Ему 71. Вопрос лучше задать: сможет ли он в светлом уме с репутацией Гордости Нации и Великого Мыслителя Степи честно публично признаться в ошибке. На Ваш вопрос ответ очевидный.

Вы наверное уже не помните за что СиСи Кэквелл лешил Мэйсона наследства. Иден - это его старшая дочь, её любит Круз. У них есть домик в Санта-Барбаре. Когда СиСи узнал, что Мэйсон не выполняет требований в доме Кэпвелов, он был очень недоволен, но свою дочь Иден он очень любит.

[Toucan]

temp03, замечание за оффтопик.

[Dave Karapetian]

Новая запись Тао на эту тему - явно вслед за сенсацией.

Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation

I’ve just uploaded to the arXiv the paper “Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation“, submitted to J. Amer. Math. Soc.. The main purpose of this paper is to formalise the “supercriticality barrier” for the global regularity problem for the Navier-Stokes equation, which roughly speaking asserts that it is not possible to establish global regularity by any “abstract” approach which only uses upper bound function space estimates on the nonlinear part of the equation, combined with the energy identity.

Читать далее:
http://terrytao.wordpress.com/2014/02/0 ... -equation/

[shwedka]

Спасибо, Dave Karapetian!

Препринт см. на
http://arxiv.org/abs/1402.0290

Как можно судить по введению,
Тао построил 'усредненные уравнения НС',
которые с абстрактной точки зрения идентичны обычным НС,
то есть, нелинейный член удовлетворяет всем формальным тождествам и энергетическим оценкам, что и у НС. Для такой системы построены решения с blow-up.
Отсюда вытекает, в частности, что любой абстрактный подход к доказательству глобальной разрешимости заведомо обречен, иначе, 'доказательство' Отелбаева и, вообще, по методу Отелбаева, заведомо содержит неисправимую ошибку (или нечетное число таких ошибок ) .
Еще по-другому,
если доказательство глобальной разрешимости и появится, то оно должно будетиспользовать более изощренную дифференциальную специфику НС, возможно, например, уравнения для ротора.

Обсуждается, в оооочень осторожных терминах, возможность использования развитых в работе идей к построению разрушающегося решения для настоящего НС.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #822800 писал(а):

Тао построил 'усредненные уравнения НС',
которые с абстрактной точки зрения идентичны обычным НС,
то есть, нелинейный член удовлетворяет всем формальным тождествам и энергетическим оценкам, что и у НС. Для такой системы построены решения с blow-up.

Эти вопросы рассматриваются в статье Tao.

Цитата:

Отсюда вытекает, в частности, что любой абстрактный подход к доказательству глобальной разрешимости заведомо обречен, иначе, 'доказательство' Отелбаева и, вообще, по методу Отелбаева, заведомо содержит неисправимую ошибку (или нечетное число таких ошибок )

Сказано только - We also propose a program for adapting these blowup results to the true Navier-Stokes equations.(Мы также предлагаем программу для адаптации этих результатов Blowup к истинным уравнений Навье-Стокса)

Цитата:

Обсуждается, в оооочень осторожных терминах, возможность использования развитых в работе идей к построению разрушающегося решения для настоящего НС.

Ранее в теме уже обсуждались эти вопросы.

-- 04.02.2014, 21:01 --

vicvolf в сообщении #822472 писал(а):

Для доказательства отсутствия гладкого решения во всем пространстве с периодическим давлением достаточно доказать отсутствие гладкого решения в конечной области пространства, т.е. в частном случае. Можно вообще ничего не доказывать, а просто привести пример для одного случая, удовлетворяющего данным условиям.

Интересно, что за этим последует? Это значит институт Клея не верно поставил проблему? Либо

-- 04.02.2014, 21:08 --

vicvolf в сообщении #822472 писал(а):

Доказательство отсутствия гладкого решения в частном случае с периодическим давлением или нахождение контрпримера является также решением данной проблемы.

Есть другие мнения.

-- 04.02.2014, 21:12 --

Red_Herring в сообщении #822504 писал(а):

Если же гипотеза опровергнута, то не уверен насчет 1мегадоллара, но проблема не решена в том смысле, что возникает новая проблема. И если при этом возникают неединственные негладкие решения то желательно наложив какое-либо условие выбрать "единственно верное". Или понять, что такого естественного условия нет.

[Red_Herring]

Давайте посмотрим официальное описание проблемы
http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf

Физически разумным принимается решение бесконечно гладкое и убывающее со всеми своими производными быстрее любой степени $|x|$ при том что правые части убывают быстрее любой степени $|x|+|t|$. Альтернативное решение: правая часть периодична по $x$ и убывает быстрее любой степени $t$, а решение $u$ периодично по $x$. Про периодичность давления ничего не сказано.

Далее перечислены, что допускается в виде решения (A)--(D). Таким образом, отрицательный результат является решением.

Однако, если с точки зрения развития науки (а не с точки зрения приза) положительные результаты в значительной мере закрывают проблему (хотя, конечно, возникают задачи о расширении класса правых частей и начальных данных, но они в каком-то смысле вторичны), то отрицательные результаты ставят новую проблему вероятно такой же степени трудности--разумно расширить класс допустимых решений. Значит ли это, что Ч.Фефферман задачу поставил неверно? -- Разумеется нет. Присобачивать к (C ), (D) еще одну задачу было бы неправильно (IMHO) .