об уравнении Навье-Стокса

[g______d]

Munin в сообщении #821505 писал(а):

В таком раскладе получается, что numerical actual blow-up time (NABT) не связывают с guaranteed no blow-up-time (GNBT) ... никакие транзитивные цепочки неравенств.

Я имел в виду более простое неравенство: $\text{guaranteed no blow-up time}$ дает не только существование решения на $[0,T]$, но и некоторые свойства регулярности. Поэтому вычислительный метод на этих данных и на этом промежутке времени тоже должен работать хорошо. Собственно, об этом и были статьи, на которые ссылался IAA.

-- 01.02.2014, 23:41 --

Munin в сообщении #821661 писал(а):

Всё равно не вижу, почему бы этому алгоритму не "ошибаться вперёд", пусть даже и зная, что ошибается, но не зная, насколько именно.

Я не уверен, что понял вопрос; но под "ломаться" я имел в виду выдавать неправильный ответ, либо ответ без гарантии погрешности. Совсем ломаться (т. е. получать переполнение, деление на ноль и т. д.) в некоторых ситуациях вообще недопустимо.

-- 01.02.2014, 23:48 --

По-моему, частично по моей вине, тема уходит в вычислительный оффтоп. Может, все-таки, отделить?

[Munin]

g______d в сообщении #821662 писал(а):

Я имел в виду более простое неравенство: $\text{guaranteed no blow-up time}$ дает не только существование решения на $[0,T]$, но и некоторые свойства регулярности. Поэтому вычислительный метод на этих данных и на этом промежутке времени тоже должен работать хорошо.

Достаточно ли этих свойств регулярности для работоспособности вычислительного метода? Впрочем, я понимаю, что вопрос умозрительный, и к теме уже ну никак не относится.

g______d в сообщении #821662 писал(а):

Я не уверен, что понял вопрос; но под "ломаться" я имел в виду выдавать неправильный ответ, либо ответ без гарантии погрешности.

Я думаю, какую-то гарантию погрешности по $x$ в моём вымышленном примере дать можно.

g______d в сообщении #821662 писал(а):

По-моему, частично по моей вине, тема уходит в вычислительный оффтоп. Может, все-таки, отделить?

Проще завершить. С моей стороны вопросы кончились. Спасибо за пояснения!

[vicvolf]

Red_Herring в сообщении #821611 писал(а):

1) В цитируемом Вами посте утверждается что blow-up происходит, т.е. утверждается противоположное глобальному существованию.

Вот я и хотел показать, что глобальное существование для уравнений Н-С для сжимаемой жидкости для многомерного случая также не доказано.

[g______d]

Munin в сообщении #821700 писал(а):

Достаточно ли этих свойств регулярности для работоспособности вычислительного метода? Впрочем, я понимаю, что вопрос умозрительный, и к теме уже ну никак не относится.

Думаю, как раз об этом статьи по ссылкам от IAA.

(Оффтоп)

Просто мне немного обидно, что каждый раз, когда появляется заявка на регулярность решений УНС, появляется куча народу, которые говорят, что УНС не интересны, плохо описывают физику, а компьютеры прекрасно все считают и без теорем о регулярности. Т. е. я уже теперь с меньшей охотой буду давать ссылку на эту тему заинтересованным людям, потому что их достанет читать 20 страниц.

[rtfai]

Цитата:

как известно, сильное решение (если оно есть) единственно в классе слабых решений Serrin

Дайте пожалуйста точную ссылку, может быть это как-то относится и к задаче обтекания? Дело в том, что неединственность можно использовать в практических целях.

Например, пусть численно получено решение задачи:
$\Delta u(x,y)=0, (x,y) \in \Omega\setminus \Xi, u\vert\partial\Omega=\varphi, u\vert\partial\Xi=\psi,\Xi\subset\Omega$
Расчеты с помощью альтенирующего метода Шварца велись в двух подобластях:
$\Xi_1\setminus\Xi, \Omega\setminus\Xi_1$,\Xi\subset\Xi_1\subset\Omega.
Можно ли по значениям функции и ее производных на $\partial\Xi_1$ восстановить $\varphi$ и $\partial\Xi$? Тривиально показывается, что однозначно восстановить невозможно, то же верно и для задач с условиями Неймана, с неоднородной правой частью, и т.п. Практический смысл заключается в том, что $\Xi_1\setminus\Xi$ может представлять из себя всего несколько слоев расчетной сетки, и контролироваться на компьютере владельца информации о форме области $\Xi$. Все остальные расчеты можно проводить на арендуемых мощностях, не строя кластер в организации. Т.е. реально использовать облачные вычисления.

[Oleg Zubelevich]

Всенвозможные задачи со срывами струй , дорожками Кармана, свободной границей и т.п. о чем здесь уже неоднократно говорили, это вообще не постановка института Клэя.

g______d в сообщении #821739 писал(а):

Просто мне немного обидно, что каждый раз, когда появляется заявка на регулярность решений УНС, появляется куча народу, которые говорят, что УНС не интересны

а Вы приведите пример из приложений для которого принципиальна задача именно в постановке иститута Клэя

А чисто математически, да, вопрос очень интересен. Даже к настоящему моменту попытки решить эту задачу привели к большому прогрессу в УРЧП, это понятно.

[vicvolf]

Oleg Zubelevich в сообщении #821329 писал(а):

Физическое содержание обсуждаемой задачи мне как-то всегда было непонятно. Несжимаемых жидкостей не бывает.

Насколько я помню из курса физики, жидкости плохо сжимаются в отличие от газов. http://ru.wikipedia.org/wiki/%C6%E8%E4%EA%EE%F1%F2%FC
"Одним из характерных свойств жидкости является то, что она имеет определённый объём (при неизменных внешних условиях). Жидкость чрезвычайно трудно сжать механически, поскольку, в отличие от газа, между молекулами очень мало свободного пространства."

[Ales]

vicvolf в сообщении #821859 писал(а):

Насколько я помню из курса физики, жидкости плохо сжимаются в отличие от газов.

"Плохо сжимаются" - это не значит "не сжимаются".
Еще есть кроме этого температурное сжатие или расширение.

Разрывы, которые могут возникать для несжимаемой жидкости,
могут компенсироваться небольшим сжатием, расширением, нагревом в более сложной
и более приближенной к реальности модели.

Но это не главное.
Я например, не представляю,
как сформулировать задачу для интересных случаев:
самолеты, корабли, подводные лодки, опоры мостов.

Такие задачи, как движение жидкости в запаянной стеклянной банке
или на трехмерном торе, которые легко поставить, к сожалению, не имеют приложений.

[rtfai]

Ales в сообщении #821877 писал(а):

vicvolf в сообщении #821859 писал(а):

Насколько я помню из курса физики, жидкости плохо сжимаются в отличие от газов.

"Плохо сжимаются" - это не значит "не сжимаются".
Еще есть кроме этого температурное сжатие или расширение.

Разрывы, которые могут возникать для несжимаемой жидкости,
могут компенсироваться небольшим сжатием, расширением, нагревом в более сложной
и более приближенной к реальности модели.

Но это не главное.
Я например, не представляю,
как сформулировать задачу для интересных случаев:
самолеты, корабли, подводные лодки, опоры мостов.

Такие задачи, как движение жидкости в запаянной стеклянной банке
или на трехмерном торе, которые легко поставить, к сожалению, не имеют приложений.

Важная область приложений, это трубопроводный транспорт. Малая сжимаемость значима при больших линейных размерах. В подразделениях Транснефти контролируется возникновение нестационарных явлений по трассе, причина распознается и реагируют на пресечение неправильных действий персонала. Кроме того, места порывов тепловых сетях коррелированы с узлами первых собственных функций графа сетей. Т.е. значима и акустика.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #821858 писал(а):

g______d в сообщении #821739 писал(а):

Просто мне немного обидно, что каждый раз, когда появляется заявка на регулярность решений УНС, появляется куча народу, которые говорят, что УНС не интересны

а Вы приведите пример из приложений для которого принципиальна задача именно в постановке иститута Клэя

Как известно, трехмерных торов вообще не существует в реальной жизни :(. Понятно, что все встречающиеся задачи будут с краем или со свободными границами, а если даже задача во всем пространстве, то нужны будут условия на бесконечности и т. д.

Но меня вполне устраивает аргументация "давайте рассмотрим самую простую с виду задачу, для которой ответ неизвестен". То, что либо все пространство, либо тор должны быть проще задачи в области, интуитивно все более-менее понимают.

Даже если все согласятся, что у самой задачи нет приложений, ее решение скорее всего даст какую-то новую мощную технику. Как теорема Ферма, которая сама по себе еще менее интересна.

-- 02.02.2014, 13:06 --

Oleg Zubelevich в сообщении #821858 писал(а):

А чисто математически, да, вопрос очень интересен. Даже к настоящему моменту попытки решить эту задачу привели к большому прогрессу в УРЧП, это понятно.

Да, я о том же. Естественным человеческим стремлением является уйти от проблемы, объявив ее нефизичной. Наверняка в учебниках по физике есть куда менее физичные модельные задачи, и они включены туда только потому, что их удалось решить.

[Red_Herring]

Я не просто допускаю, я уверен, что проблема глобального существования сильного решения НС с точки зрения приложений неинтересна. Ну хотя бы потому что всегда можно заявить что есть еще вторая вязкость $-\varepsilon \Delta^2 $ с маленьким таким $\varepsilon>0 $, тем самым дописав еще один член в УНС, обозвав ит РУНС (регуляризированное) и занимться им (кстати так можно доказать в результате предельного перехода с $\varepsilon \to +0$ существование слабого решения (используя слабую компактность).

Но вопрос: "а какого черта?" Да, физика являлась и является источников многих замечательных задач и идей в математике. Но в данном случае выбор за математиками (хотя, конечно, IMHO, есть не менеее интересные задачи, не вошедшие в список). Но вот в 2009 назад Ахаронов не получил Нобелевки по физике, а дали ее физикам, которые примали чип для цифровых камер. Стали бы физики слушать возражения о том что с математической точки зрения их работы неинтересны?

[_serge]

Конечно, с физической точки зрения, интерес представляет также до сих пор нерешенная проблема турбулентности.
Которая может вообще не иметь никакого отношения к уравнениям НС в той части, которая касается создания теоретической модели для описания (статистики) турбулентного потока в части его внутренней структуры.
И, тем более, к искусственным задачам института Клэя.
Но это уже другая проблема.

[Ales]

g______d в сообщении #821886 писал(а):

Даже если все согласятся, что у самой задачи нет приложений, ее решение скорее всего даст какую-то новую мощную технику.

Но только если придумают какой-то новый способ приближенного решения.

А доказательство на торе по такой схеме: разложим в ряды Фурье - заменим УРЧП на систему ОДУ для коэффициентов Фурье - перейдем к пределу, может оказаться бесполезным с точки зрения новой техники.

[g______d]

Ales в сообщении #821930 писал(а):

А доказательство на торе по такой схеме: разложим в ряды Фурье - заменим УРЧП на систему ОДУ для коэффициентов Фурье - перейдем к пределу, может оказаться бесполезным с точки зрения новой техники.

Пусть сначала кто-нибудь докажет хоть так, а потом посмотрим.

Кроме того, я могу то же заявить то же самое для всего пространства с заменой ряда Фурье на преобразование Фурье. Или даже для области, разложив по собственным функциям оператора Лапласа или чего-то еще. Это просто перевод проблем с одного языка на другой. Если задача решится в Фурье-представлении, то можно пытаться перенести решение обратно. Пока что в таких заявлениях нет ничего кроме демагогии.

[rtfai]

Цитата:

Даже если все согласятся, что у самой задачи нет приложений, ее решение скорее всего даст какую-то новую мощную технику. Как теорема Ферма, которая сама по себе еще менее интересна.

Как она даст-то когда такой снобизм? Доказал Уайлс не ВТФ, а гипотезу Таниямы-Шимуры (ВТФ является всего лишь одним из следствий этой гипотезы), которая имеет отношение к алгебраической геометрии, теории чисел и крипторграфии.

PS Кроме того, даже использовав волшебное слово "пожалуйста" и попросив точную ссылку я не получил ответа. Не досуг...