Более чем счетное количество строгих экстремумов

[MestnyBomzh]

Может ли функция иметь более, чем счетное число точек строгого локального экстремума? Можно придумать такое однородное уравнение, у которого будет более чем счетное число корней и найти первообразную левой части уравнения, но, как я догадываюсь, такого не существует?

[gris]

Каждая точка строгого экстремума связана с интервалом.

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #821370 писал(а):

Может ли функция иметь более, чем счетное число точек строгого локального экстремума?

http://dxdy.ru/post187275.html#p187275

MestnyBomzh в сообщении #821370 писал(а):

Можно придумать такое однородное уравнение, у которого будет более чем счетное число корней

Что такое "однородное уравнение"?

[MestnyBomzh]

ewert, вы пишете: отнесём к $k$-тому классу все точки, для которых длины выбранных окрестностей лежат в $[2^{-k};2^{-k+1})$. Здесь $k$-натуральное ? Вроде фраза "$k$-ый класс" подразумевает натуральность, но в таком случае, если, например, для максимума $x=0$ выбранная окрестность будет $[-1;1]$-длина выбранной окрестности - $2$. К какому классу отнесем точку, ведь $2^{-k}$ и $2^{-k+1}$ при натуральном $k$ будут меньше двойки

[Nemiroff]

MestnyBomzh в сообщении #821457 писал(а):

если, например, для максимума $x=0$ выбранная окрестность будет $[-1;1]$-длина выбранной окрестности - $2$. К какому классу отнесем точку, ведь $2^{-k}$ и $2^{-k+1}$ при натуральном $k$ будут меньше двойки

Возьмите поменьше, в чём проблема?
Или пусть будет целое, а не натуральное.

[SpBTimes]

Можно же не так формально, но более обозримо.
По определению, каждую точку строгого локального минимума можно окружить таким проколотым интервалом (симметрическим), что для всех иксов из этого интервала значения функции будут больше, чем значение в самой точке. Так как пространство Хаусдорфово, то 2 соседних минимума можно окружить непересекающимися проколотыми окрестностями. Ну а в каждом интервальчике можно взять рац. точку. А так как интервалы не пересекаются, то...
То же самое и про максимумы.

[patzer2097]

SpBTimes в сообщении #821472 писал(а):

2 соседних минимума можно окружить непересекающимися проколотыми окрестностями

а что значит два соседних? почему они не могут быть расположены плотно на $[0,1]$?

[ewert]

(Оффтоп)

SpBTimes в сообщении #821472 писал(а):

Можно же не так формально, ... Так как пространство Хаусдорфово,

нифигасе неформально

-- Сб фев 01, 2014 19:17:46 --

MestnyBomzh в сообщении #821457 писал(а):

но в таком случае, если, например, для максимума $x=0$ выбранная окрестность будет $[-1;1]$-длина выбранной окрестности - $2$.

Очевидно, что утверждение достаточно доказывать для функции, заданной на отрезке, длина которого меньше чего угодно конкретного. Вот, скажем, меньше одной второй; тогда Ваш вопрос автоматически снимается.

Это во-первых. А во-вторых, никто не запрещает брать те $k$ и произвольными целыми; на счётность-то это ни разу не влияет. (А, про это уже Nemiroff сообщил; пардон, не обратил внимания на вторую строчку)

[SpBTimes]

patzer2097
Так потому и не могут, что окрестности можно выбрать непересекающимися. Или я что-то упускаю?

[patzer2097]

SpBTimes в сообщении #821619 писал(а):

Так потому и не могут, что окрестности можно выбрать непересекающимися. Или я что-то упускаю?

а почему у любого максимума можно выбрать окрестность, в которой не будет других максимумов?
вроде бы можно взять непрерывную функцию, не монотонную ни на одном интервале, тогда (если я не ошибся) ее локальные максимумы будут всюду плотны на $\mathbb{R}$

[ewert]

patzer2097 в сообщении #821655 писал(а):

а почему у любого максимума можно выбрать окрестность, в которой не будет других максимумов?

По определению строгого максимума.

[provincialka]

ewert в сообщении #821670 писал(а):

По определению строгого максимума.

Да? Не вижу. Если данное значение больше всех остальных в некоторой окрестности, то некоторые из них тоже могут быть больше чего-то. Что, на всех окрестностей не хватит? Если указанный факт и следует из определения (собственно, все из него следует), то очень опосредованно.

[ewert]

provincialka в сообщении #821673 писал(а):

Если данное значение больше всех остальных в некоторой окрестности, то некоторые из них тоже могут быть больше чего-то.

Чего-то -- разумеется. Но уж всяко не более оного. Не вижу проблемы.

[patzer2097]

provincialka,
ewert неправ - локальные максимумы будут всюду плотны на $\mathbb{R}$, например, у почти всех траекторий винеровского процесса

[provincialka]

ewert, ну как. Например, значение $f(0)$ наибольшее в окрестности $(-1; 1)$. А значение $f(1/2)$ - наибольшее в окрестности $(1/4, 3/4)$, но меньшее, естественно, чем $f(0)$ и так далее. Чему это мешает? Не скажу, что у функции в каждой точке может быть такое. Но вот посмотрите хотя бы на $x^2(\sin \frac 1x - 2)$ в 0.

-- 02.02.2014, 00:13 --

patzer2097, спасибо, я что-то такое подозревала. Хотя Винеровских процессов не знаю, верю на слово.