Более чем счетное количество строгих экстремумов

[patzer2097]

provincialka в сообщении #821686 писал(а):

patzer2097, спасибо, я что-то такое подозревала. Хотя Винеровских процессов не знаю, верю на слово.

может быть, это слишком сложный пример
но если нам достаточно не строгих, а просто максимумов - то будет достаточно любой непрерывной не монотонной ни на одном интервале функции (это уже довольно просто доказать)

[g______d]

patzer2097 в сообщении #821681 писал(а):

локальные максимумы будут всюду плотны на $\mathbb{R}$, например, у почти всех траекторий винеровского процесса

Бывают счётные всюду плотные множества, а бывают, наоборот, несчётные и нигде не плотные.

[provincialka]

g______d, не знаю как patzer2097, я не собиралась что-то утверждать по основной теме. Меня только удивило утверждение об "отделимости" экстремумов.

[g______d]

patzer2097 в сообщении #821691 писал(а):

непрерывной не монотонной ни на одном интервале функции (это уже довольно просто доказать)

Если вдруг кому пригодится, то существует даже дифференцируемая; конструкция есть в этой книге: http://books.google.ru/books?id=w4B4qmqQP5YC

-- 02.02.2014, 00:20 --

provincialka в сообщении #821695 писал(а):

я не собиралась что-то утверждать по основной теме.

Я тоже :)

[ewert]

Так, девочки, сосредоточьтесь. Речь исключительно о строгих локальных максимумах (ну или минимумах, какая разница).

[patzer2097]

g______d в сообщении #821693 писал(а):

patzer2097 в сообщении #821681 писал(а):

локальные максимумы будут всюду плотны на $\mathbb{R}$, например, у почти всех траекторий винеровского процесса

Бывают счётные всюду плотные множества, а бывают, наоборот, несчётные и нигде не плотные.

прошу прощения, я что-то не то написал?
конечно, я именно о счетном множестве несчетного там не может быть, как доказал ewert ранее

[provincialka]

ewert, а в моем примере разве нестрогие? Насчет "всюду плотного множества максимумов" не знаю, но уж один-то неизолированный может быть. Лично я не опровергаю основного утверждения, так, реплика в сторону.

[patzer2097]

ewert в сообщении #821699 писал(а):

Речь исключительно о строгих локальных максимумах (ну или минимумах, какая разница).

Вам уже сказали, что строгие локальные максимумы всюду плотны на $\mathbb{R}$ у почти всех траекторий винеровского процесса

ewert в сообщении #821699 писал(а):

Так, девочки, сосредоточьтесь.

а к Вам как обращаться предложите?

[g______d]

ewert в сообщении #821699 писал(а):

Речь исключительно о строгих локальных максимумах

Т. е. точки, у которых существует проколотая окрестность, в которой функция строго меньше?

[SpBTimes]

patzer2097, provincialka
Спасибо за поправку и за пример. Я не прав! И правда, могут сгущаться.

[Nemiroff]

ewert в сообщении #821699 писал(а):

Речь исключительно о строгих локальных максимумах (ну или минимумах, какая разница).

Для любых непересекающихся счётных множеств есть непрерывная (даже дифференцируемая) функция такая, что эти множества являются множествами строгих минимумов и максимумов функции соответственно.

[ewert]

patzer2097 в сообщении #821705 писал(а):

Вам уже сказали, что строгие локальные максимумы всюду плотны на $\mathbb{R}$ у

Да пусть себе будут плотны (хотя это и откровенно невозможно). Мне что, жалко?...

patzer2097 в сообщении #821705 писал(а):

а к Вам как обращаться предложите?

Так и аналогично -- как заблагорассудится.

-- Вс фев 02, 2014 00:38:30 --

g______d в сообщении #821709 писал(а):

Т. е. точки, у которых существует проколотая окрестность, в которой функция строго меньше?

Ну послушайте, это ж несерьёзно. Это же формальное определение строгого максимума, а других и быть не может.

[patzer2097]

Nemiroff в сообщении #821711 писал(а):

Для любых непересекающихся счётных множеств есть непрерывная (даже дифференцируемая) функция такая, что эти множества являются множествами строгих минимумов и максимумов функции соответственно.

это интересно! а подскажите, пожалуйста, где об этом можно прочитать?

[g______d]

ewert в сообщении #821714 писал(а):

Да пусть себе будут плотны (хотя это и откровенно невозможно).

http://math.stackexchange.com/questions ... l-function

Про счетность я, конечно, согласен. А с тем, что в достаточно малой окрестности строгого максимума не может быть другого строгого максимума, нет :)

[Nemiroff]

patzer2097 в сообщении #821728 писал(а):

это интересно! а подскажите, пожалуйста, где об этом можно прочитать?

Выше моего есть сообщение g______d, в нём есть описание и ссылки.
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cac ... DOC=104431
К примеру.

Ещё в статье (там же ссылка) Continuous Functions with a Dense Set of Proper Local Maxima есть ссылки на литературу вида

Цитата:

V. Kelar, On strict local extrema of differentiable functions, Real Analysis Exchange, 6, 2 (1980-1981) 242-244.

Цитата:

Z. Zalcwasser, Sur les fonctions de Kopcke, Prace Mat. Fiz., 35 (1927-28) 57-99.

Не смог найти в электронном виде, если найдёте, мне тоже будет очень интересно почитать.

И книжка Strange Functions in Real Analysis, Kharazishvili, (кажется, на неё уже тоже привели ссылку). Со стр. 121.

Не понимаю, о чём ewert спорит.