Бесконечность

[dvb]

Someone в сообщении #819689 писал(а):

Натуральные числа — это некая логическая конструкция, существующая исключительно в психике человека

Солидарен с этой точкой зрения.

Someone в сообщении #819854 писал(а):

Не путайте физический мир с логическими конструкциями.

И этот призыв поддерживаю.

Я не в курсе, что там у математиков с другими логиками, читал где-то, что они и в них ковыряются. Но стандартная логика с исключенным третьим и истиной в виде отрицания лжи, на которой висят все доказательства от противного, родилась в сознании человека эволюционно. Она позволила ему прилично устроится в окружающей природе, потому что с помощью этой логики ему удается в своей голове строить модели природных явлений, выясняя, какие в ней имеются закономерности. До определенного момента эта логика даже не осознавалась, и, вероятно, первым математиком был тот, кто начал сознательно применять стандартную логику.
Хочу обратить внимание, что с актуальной бесконечность человек в природе никогда не сталкивается. Везде, где только можно, природа ставит предел нашим попыткам превратить потенциальную бесконечность в актуальную, хотя разгуляться воображению всегда есть где. Число Авогадро велико, но конечно, горизонт событий далек, но он имеется, скорость света, по нашим масштабам, велика, но конечна, и т.д. И куда ни сунься - все на грани фола. Вот сплошная среда, берем дифуравнение, пределы, то и се, уравнения гидродинамики. Но мы-то теперь зна-аем! Копни вглубь - оно там...
И с законом исключенного третьего, в общем, та же история. Казалось бы, вот слепили мир из материальных точек - отлично! Точки маленькие, континуум большой - так, в среднем, всегда можно соорудить что-то конечное и удобное в приложениях. Точки эти пусть будут элементарные частицы. И нам хорошо, и философам покойно! Ну так вот вам - нате - электрон! Ни волна, ни частица, то есть, как сказал бы Николай Васильевич: "ни то, ни се, а черт знает, что такое!"
Да при том еще, что гипотеза континуума, оказывается, не зависит от прочих аксиом теории множеств. А кто-нибудь возмет (Какой-нибодь Гриша Перельман), да и конструктивно построит промежуточное множество - что тогда? Как жить?!
И уж совсем на закуску Гедель со своей теоремой. Он ведь, подлец, не тычет пальцем в недоказуемое высказывание, а так: существует и все... И не говорит, сколько их, этих высказываний всего. Может их счетное множество, что тогда?!
Куда ни сунься к этим математикам - везде какие-то закутки с химерами и монстрами. А ведь так хочется чего-нибудь простого, естественного и удобоприятного! А ведь были времена и были люди! Декарт, Ньютон... Все ровненько, гладко и прилично. Хочешь бесконечность - выбери координату, и дуй до горы! Только никуда не сворачивай...

[Sergey K]

Цитата:

Но стандартная логика с исключенным третьим и истиной в виде отрицания лжи, на которой висят все доказательства от противного, родилась в сознании человека эволюционно

она родилась благодаря Аристотелю

Цитата:

Куда ни сунься к этим математикам - везде какие-то закутки с химерами и монстрами

а без них - примитивность, не отображающая мир. тот же принцип исключения третьего. увы.

[warlock66613]

Sergey K в сообщении #819888 писал(а):

она родилась благодаря Аристотелю

В данном аспекте это неважно. Если бы это не сделал Аристотель, а кто-нибудь другой, на логику это не повлияло бы.

[Someone]

st rik в сообщении #819863 писал(а):

Someone в сообщении #819854 писал(а):

st rik в сообщении #819853 писал(а):

Ну и как Вы реально отличите два (много больше) рядов этих палочек? …

Не путайте физический мир с логическими конструкциями.

Я всего лишь их объединяю. Устанавливаю общие закономерности.

Их нельзя "объединять", потому что из этого получается белиберда.

dvb в сообщении #819870 писал(а):

Я не в курсе, что там у математиков с другими логиками, читал где-то, что они и в них ковыряются.

У математиков этих логик — как собак нерезаных. Некоторые используются.

dvb в сообщении #819870 писал(а):

Хочу обратить внимание, что с актуальной бесконечность человек в природе никогда не сталкивается.

Человек в природе с бесконечностью вообще не сталкивается. Ни с актуальной, ни с потенциальной. В математике термин "бесконечность" используется в нескольких разных смыслах, однако терминов "актуальная бесконечность" и "потенциальная бесконечность" в математике нет, поскольку нет способа отличить одно от другого. Эти термины встречаются в околоматематических философствованиях.

Почему в математике нет таких понятий? Например, возьмём какое-нибудь бесконечное множество. Актуально бесконечное оно или нет? А это зависит от того, что мы понимаем под множеством.
Если мы интерпретируем множество как законченную совокупность каких-то элементов, то наше множество, согласно околоматематической философии, актуально бесконечное. Если же мы то же самое множество будем интерпретировать как некое свойство элементов, а не как их совокупность, то мы всегда будем иметь дело только с конечным числом конкретных элементов, и наше множество оказывается потенциально бесконечным.
А для теории множеств все интерпретации абсолютно безразличны. Теория множеств имеет свой язык, свой набор аксиом и правил вывода, и это всё, что нужно. А все разговоры об актуальной и потенциальной бесконечности никому, кроме философов, не нужны.

dvb в сообщении #819870 писал(а):

И с законом исключенного третьего, в общем, та же история. Казалось бы, вот слепили мир из материальных точек - отлично! Точки маленькие, континуум большой - так, в среднем, всегда можно соорудить что-то конечное и удобное в приложениях. Точки эти пусть будут элементарные частицы.

Бредятина. С какой стати математические конструкции стали элементарными частицами? Вы чуть выше писали, что поддерживаете мой призыв не путать физический мир с логическими конструкциями, и тут же заявляете прямо противоположное.

dvb в сообщении #819870 писал(а):

Ну так вот вам - нате - электрон! Ни волна, ни частица, то есть, как сказал бы Николай Васильевич: "ни то, ни се, а черт знает, что такое!"

Это ерунда. Причём тут закон исключённого третьего? Электрон (и другие "элементарные" частицы) действительно не является ни волной, ни частицей в смысле классической механики. Это объект, который классической механикой не описывается. Описывается он средствами квантовой физики, и, как оказывается, обладает как свойствами волны, так и свойствами частицы.
Если Вы намекаете на так называемый "корпускулярно-волновой дуализм", то нет его, этого "дуализма". Это была ранняя (и неудачная) попытка описать квантовые объекты на языке классической механики.

dvb в сообщении #819870 писал(а):

Да при том еще, что гипотеза континуума, оказывается, не зависит от прочих аксиом теории множеств.

Эк удивили! В теории множеств подобных утверждений — воз и маленькая тележка.

dvb в сообщении #819870 писал(а):

А кто-нибудь возмет (Какой-нибодь Гриша Перельман), да и конструктивно построит промежуточное множество - что тогда? Как жить?!

Успокойтесь, не построит. Если бы такое множество можно было построить, исходя из аксиом ZFC или GB, то это означало бы доказательство существования такого множества и опровержение континуум-гипотезы. Ни о какой независимости континуум-гипотезы речи не шло бы, и никакой Коэн эту независимость доказать не сумел бы.

dvb в сообщении #819870 писал(а):

И уж совсем на закуску Гедель со своей теоремой. Он ведь, подлец, не тычет пальцем в недоказуемое высказывание, а так: существует и все...

Враки. В доказательстве теорем Гёделя (их две) указываются вполне конкретные недоказуемые (и неопровержимые) утверждения. Другое дело, что они, как бы это сказать, "неудобоваримые".

Вокруг теорем Гёделя накопилась куча легенд. Например, вторую теорему Гёделя интерпретируют так: "арифметика не может доказать свою непротиворечивость". Это, строго говоря, бессмыслица. Объектами арифметики являются натуральные числа, и больше ничего там нет. В арифметике утверждение о её собственной непротиворечивости невозможно даже сформулировать, а не только что доказать.
На самом деле утверждение о непротиворечивости арифметики (как и обе теоремы Гёделя) относится к метатеории. Под метатеорией понимается некая вспомогательная теория, в которой описан язык арифметики (очень часто в качестве метатеории выступает естественный язык). Арифметические высказывания и их доказательства являются объектами метатеории, здесь можно сформулировать утверждение о доказуемости или недоказуемости арифметических высказываний.
Однако арифметика (в аксиоматике Пеано, "слегка" подправленной, чтобы получить теорию первого порядка) оказывается настолько богатой теорией, что позволяет закодировать внутри себя метатеорию (всю или хотя бы часть, нужную для доказательства), в результате чего утверждение о непротиворечивости арифметики превращается в некоторое утверждение о натуральных числах. Вторая теорема Гёделя как раз утверждает, что это утверждение о натуральных числах средствами арифметики недоказуемо (и неопровержимо). Но мы же "знаем", что там закодировано!

В настоящее время известно уже немало вполне содержательных арифметических утверждений, которые средствами самой арифметики нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Например, теорема Гудстейна.

dvb в сообщении #819870 писал(а):

И не говорит, сколько их, этих высказываний всего. Может их счетное множество, что тогда?!

Ага, угадали. Их бесконечно много. Вешаться будете, травиться или с балкона прыгать? Или, может быть, харакири нам продемонстрируете?

dvb в сообщении #819870 писал(а):

А ведь были времена и были люди! Декарт, Ньютон... Все ровненько, гладко и прилично.

Это Вам кажется.

[Munin]

Someone в сообщении #819896 писал(а):

Ага, угадали. Их бесконечно много.

А вот кстати, их множество равномощно множеству утверждений, которые можно доказать или опровергнуть, или нет? Если it depends, то в той же арифметике.

[Someone]

Ну, поскольку алфавит арифметики предполагается конечным или, в крайнем случае, счётным, а запись каждого утверждения состоит из конечного числа символов, то множество утверждений, которые можно сформулировать в языке арифметики, является счётным (в действительности существует алгоритм, который перечисляет все утверждения). Поэтому все множества, о которых идёт речь, являются счётными.

[Munin]

Спасибо. Значит, интуитивное ощущение, что "неясных" утверждений больше, соврало.

[dvb]

Опоздал...

[Dan B-Yallay]

Someone в сообщении #819896 писал(а):

На самом деле утверждение о непротиворечивости арифметики (как и обе теоремы Гёделя) относится к метатеории. Под метатеорией понимается некая вспомогательная теория, в которой описан язык арифметики ...

В качестве дополнения: ЕМНИС из самой конструкции теоремы Гёделя следует, что она верна для "любой достаточно богатой" теории, т.е. имеющей выразительные возможности описать арифметику (Пеано).
И таких метатеорий много.

Someone в сообщении #819896 писал(а):

dvb в сообщении #819870 писал(а): писал(а):

И не говорит, сколько их, этих высказываний всего. Может их счетное множество, что тогда?!

Ага, угадали. Их бесконечно много.

Как уже пояснил Someone, Гёдель непосредственно строит это утверждение. Сначала вводит метод кодирования предложений, а затем использует известный парадокс, перевёденный на язык метатеории.
Полученное утверждение недоказуемо и неопроведгаемо, потому может быть присоединено к метатеории как аксиома. В полученной расширенной теории опять можно построить новое недоказуемое (и неопровергаемое) утверждение...
И так до потери пульса. (Опять призрак бесконечности...)

[dvb]

Someone в сообщении #819896 писал(а):

Вы чуть выше писали, что поддерживаете мой призыв не путать физический мир с логическими конструкциями, и тут же заявляете прямо противоположное.

Обязательно поддерживаю. Но, согласитесь, что у математики нет монополии на логику. Какая-то логика присутствует в любой отрасли знания, исключая, быть может, политологию. Это во-первых. А во-вторых, когда мы применяем какую-то математику, к какой-то физике, мы всегда соотносим (или пытаемся это сделать) математические символы с какими-то параметрами реального физического процесса, которые мы измеряем (или нам так кажется). И помимо тех ответов, которые чисто формально дают выкладки, физика нуждается (почему-то) в интерпретации, которая тоже должна подчиняться какой-то своей логике. Если же при формальном решении встречается в том или ином виде бесконечность (ну, к примеру, сходящийся предел, или несобственный интеграл, или рвется производная), возникает вопрос: как же реальный процесс "перепархивает" эту бесконечность?! И ладно, если это простая сингулярность в черной дыре - объявляется, что теория там неприменима, и шабаш. А если это, к примеру, фазовый переход первого рода? До и после все пристойно, а посередке что? Неужели и взаправду бесконечность? Вот эта магия манипуляций с математической бесконечностью всегда сбивает с толку в физической интерпретации. И приходится извиваться логикой этой интерпретации. Или переопределять накатанные базисные понятия для величин, измеряемых экспериментально.

[Munin]

dvb в сообщении #820067 писал(а):

Но, согласитесь, что у математики нет монополии на логику.

Вы ещё скажите, что у математики нет монополии на таблицу умножения. Вон её все применяют, даже кассиры.

[Dan B-Yallay]

dvb в сообщении #820067 писал(а):

А во-вторых, когда мы применяем какую-то математику, к какой-то физике, мы всегда соотносим (или пытаемся это сделать) математические символы с какими-то параметрами реального физического процесса, которые мы измеряем (или нам так кажется).

Мне почему-то всегда казалось, что процесс идет в другую сторону. Сначала исследуется физическое явление и находятся количественные взаимосвязи между различными явлениями/обьектами. Затем эти взаимосвязи выражаются в виде формул/уравнений, то есть явление формализуется и строится его математическая модель.
И затем уже привлекается матаппарат, адекватно решающий поставленную задачу, или же разрабатывается новый (как, например, с обобщенные функции)

dvb в сообщении #820067 писал(а):

И помимо тех ответов, которые чисто формально дают выкладки, физика нуждается (почему-то) в интерпретации, которая тоже должна подчиняться какой-то своей логике. Если же при формальном решении встречается в том или ином виде бесконечность (ну, к примеру, сходящийся предел, или несобственный интеграл, или рвется производная), возникает вопрос: как же реальный процесс "перепархивает" эту бесконечность?!

Ситуация, когда формально получается бесконечность, а природа "перепархивает", скорее всего означает, что уравнения и модель были выбраны на основе недостаточного количества данных, в частности относящихся к значениям, где формальная математика дает сбой. И дело не в лености исследователя: зачастую такие граничные данные просто невозможно получить принципиально или на данном уровне развития науки/техники.

[Munin]

Dan B-Yallay в сообщении #820091 писал(а):

Ситуация, когда формально получается бесконечность, а природа "перепархивает", скорее всего означает, что уравнения и модель были выбраны на основе недостаточного количества данных

Или с упрощениями/огрублениями, которые перестают быть верными в некоторый момент.

[Lukin]

dvb в сообщении #820067 писал(а):

А если это, к примеру, фазовый переход первого рода? До и после все пристойно, а посередке что? Неужели и взаправду бесконечность?

В продолжение "бесконечности можно понимать о разному", почитайте заметку "К альтернативной теории мнодеств" , по ссылке [1] подробнее.
Как при этом понимается то, что вы назвали "фазовым переходом", приведено в шутливом примере о человекообразных предках человека.
[1]

[dvb]

Dan B-Yallay в сообщении #820091 писал(а):

Мне почему-то всегда казалось, что процесс идет в другую сторону.

Ну, как один из вариантов. Но "эпохальные" вещи... К примеру, как Шрёдингер написал свое уравнение? Что там у него было? Атом, протон, электрон. И дискретный спектр излучения - поглощения. Что еще? Как из этого можно было извлечь волновую функцию - уму непостижимо. Притом, что ее интерпретацию как амплитуды вероятности он отвергал.