Исследование интеграла

[Taus]

Какие есть способы получить какие-нибудь оценки на данный интеграл?

$$\int\limits_\beta^{\beta A} \dfrac{t(1-t) e^{-t}}{\sqrt{t^2 - \beta^2}}\, \mathrm{d}x; \quad \beta \in (0; +\infty);\ A > 1$$

[SpBTimes]

Что вы подразумеваете под оценками? Асимптотику? Или что?

[tatkuz1990]

$dx\, $ или $\, dt \, $ ?

Подинтегральная функция гладкая, ее можно аппроксимировать более простой (для целей интегрирования) зависимостью
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 3D5..10%29

Численно, например, методом Симпсона, тоже легко решается.

[Taus]

SpBTimes, асимптотики при различных значениях параметров.
tatkuz1990, это очевидно, что гладкая. Если мне численно надо было бы посчитать, я бы не постил этот вопрос сюда :)

[ewert]

tatkuz1990 в сообщении #819480 писал(а):

Численно, например, методом Симпсона, тоже легко решается.

Плохо, плохо "решается" Симпсоном, если в лоб. Т.е. сходиться будет, но медленно -- подынтегральная функция негладкая.

Taus в сообщении #819493 писал(а):

асимптотики при различных значениях параметров.

Асимптотик "при значениях" не бывает. Вы уж определитесь, какого параметра и какое именно поведение Вас интересует.

[tatkuz1990]

Почему же не воспользоваться тогда разложением подинтегральной функции в ряд Тейлора? Можно с любой точностью аппроксимировать . Вот мой же пример, где найдете разложение и для точки t-5:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Se ... %5E2%29%29

Потом проинтегрировать.

[SpBTimes]

Разложить-то не везде можно, поэтому необходимы доп сведения.

[ИСН]

Вернее, так: разложить получится, может, и везде, да только в разных краях разложения разные.

[Taus]

ewert в сообщении #819511 писал(а):

Асимптотик "при значениях" не бывает. Вы уж определитесь, какого параметра и какое именно поведение Вас интересует.

$A \rightarrow 1$, $A \gg 1$, $\beta \ll 1$, $\beta \gg 1$. Возможно есть зависимость от соотношения между $\beta$ и $A$.

[mihiv]

$A\rightarrow 1, \beta \ll 1$. Сделаем замену $t=\beta u$, тогда получим $I=\int \limits _1^A\dfrac {\beta u(1-\beta u)e^{-\beta u}}{\sqrt {u^2-1}}du.$ Подынтегральное выражение можно представить в виде: $\dfrac {f(u,\beta )}{\sqrt {u-1}}$. Функция $f$ не имеет особенности на отрезке интегрирования. Разлагаем её в ряд Тэйлора по степеням $u-1$. Если ограничиться нулевым членом разложения, то получим: $I\approx \sqrt 2 \beta (1-\beta )e^{-\beta }\sqrt {A-1}$

[Taus]

mihiv, спасибо, помогло.