2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Исследование интеграла
Сообщение26.01.2014, 21:10 
Какие есть способы получить какие-нибудь оценки на данный интеграл?
$$\int\limits_\beta^{\beta A} \dfrac{t(1-t) e^{-t}}{\sqrt{t^2 - \beta^2}}\, \mathrm{d}x; \quad \beta \in (0; +\infty);\ A > 1$$

 
 
 
 Re: Исследование интеграла
Сообщение26.01.2014, 23:07 
Аватара пользователя
Что вы подразумеваете под оценками? Асимптотику? Или что?

 
 
 
 Re: Исследование интеграла
Сообщение27.01.2014, 00:10 
$dx\, $ или $\, dt \, $ ?

Подинтегральная функция гладкая, ее можно аппроксимировать более простой (для целей интегрирования) зависимостью
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 3D5..10%29

Численно, например, методом Симпсона, тоже легко решается.

 
 
 
 Re: Исследование интеграла
Сообщение27.01.2014, 01:10 
SpBTimes, асимптотики при различных значениях параметров.
tatkuz1990, это очевидно, что гладкая. Если мне численно надо было бы посчитать, я бы не постил этот вопрос сюда :)

 
 
 
 Re: Исследование интеграла
Сообщение27.01.2014, 08:12 
tatkuz1990 в сообщении #819480 писал(а):
Численно, например, методом Симпсона, тоже легко решается.

Плохо, плохо "решается" Симпсоном, если в лоб. Т.е. сходиться будет, но медленно -- подынтегральная функция негладкая.

Taus в сообщении #819493 писал(а):
асимптотики при различных значениях параметров.

Асимптотик "при значениях" не бывает. Вы уж определитесь, какого параметра и какое именно поведение Вас интересует.

 
 
 
 Re: Исследование интеграла
Сообщение27.01.2014, 09:58 
Почему же не воспользоваться тогда разложением подинтегральной функции в ряд Тейлора? Можно с любой точностью аппроксимировать . Вот мой же пример, где найдете разложение и для точки t-5:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Se ... %5E2%29%29

Потом проинтегрировать.

 
 
 
 Re: Исследование интеграла
Сообщение27.01.2014, 10:27 
Аватара пользователя
Разложить-то не везде можно, поэтому необходимы доп сведения.

 
 
 
 Re: Исследование интеграла
Сообщение27.01.2014, 11:10 
Аватара пользователя
Вернее, так: разложить получится, может, и везде, да только в разных краях разложения разные.

 
 
 
 Re: Исследование интеграла
Сообщение27.01.2014, 16:20 
ewert в сообщении #819511 писал(а):
Асимптотик "при значениях" не бывает. Вы уж определитесь, какого параметра и какое именно поведение Вас интересует.

$A \rightarrow 1$, $A \gg 1$, $\beta \ll 1$, $\beta \gg 1$. Возможно есть зависимость от соотношения между $\beta$ и $A$.

 
 
 
 Re: Исследование интеграла
Сообщение27.01.2014, 18:03 
$A\rightarrow 1, \beta \ll 1$. Сделаем замену $t=\beta u$, тогда получим $I=\int \limits _1^A\dfrac {\beta u(1-\beta u)e^{-\beta u}}{\sqrt {u^2-1}}du.$ Подынтегральное выражение можно представить в виде: $\dfrac {f(u,\beta )}{\sqrt {u-1}}$. Функция $f$ не имеет особенности на отрезке интегрирования. Разлагаем её в ряд Тэйлора по степеням $u-1$. Если ограничиться нулевым членом разложения, то получим: $I\approx \sqrt 2 \beta (1-\beta )e^{-\beta }\sqrt {A-1}$

 
 
 
 Re: Исследование интеграла
Сообщение30.01.2014, 19:26 
mihiv, спасибо, помогло.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group