Переход к новому базису векторного пространства

[BENEDIKT]

Возникла проблема, связанная с материалом, изложенным в учебнике.
В параграфе "Переход к новому базису" присутствует следующий фрагмент:

Пусть в пространстве $R$ имеются два базиса: старый $e_1, e_2,...,e_n$ и новый $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$. Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

$$ \begin{cases} e_1^*=a_{11} e_1 + a_{12} e_2+...+ a_{1n}e_n\\ e_2^*=a_{21} e_1 + a_{22} e_2+...+ a_{2n}e_n\\ ..................................................\\ e_n^*=a_{n1} e_1 + a_{n2} e_2+...+ a_{nn}e_n \end{cases} $$

Полученная система означает, что переход от старого базиса $e_1, e_2,...,e_n$ к новому $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$ задаётся матрицей перехода:

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \qquad ​$$​
причём коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.
Найдём зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор $x$ имеет координаты $x_1, x_2,...,x_n$ относительно старого базиса и координаты $x_1^*, x_2^*,...,x_n^*$ относительно нового базиса, т. е. $x=x_1^* e_1^*+ x_2^* e_2^*+...+x_n^* e_n^* =x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$

Всё это не вызывает вопросов. Проблема в том, что изложено далее:

Подставив значения $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$ из представленной выше системы в левую часть этого равенства, получим после преобразований:

$$ \begin{cases} x_1=a_{11} x_1^* + a_{21} x_2^*+...+ a_{n1}x_n^*\\ x_2=a_{12} x_1^* + a_{22} x_2^*+...+ a_{n2}x_n^*\\ ..................................................\\ x_n=a_{1n} x_1^* + a_{2n} x_2^*+...+ a_{nn}x_n^* \end{cases} $$

Указанные автором преобразования опущены. Это означает, что они элементарны, но я, к своему стыду, не смог их воспроизвести и, соответственно, понять, каким образом получена система в конце представленного фрагмента.
Судя по системе, координаты вектора $x_1, x_2,...,x_n$ в базисе $e_1, e_2,...,e_n$ есть линейные комбинации координат $x_1^*, x_2^*,...,x_n^*$ в базисе $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$. Но почему каждая координата есть линейная комбинация всех координат вектора, заданных в противоположном базисе? Об этом в учебнике ранее ничего не говорилось.
Самое главное: как осуществлены преобразования? Автор указывает: "Подставив значения $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$ из представленной выше системы в левую часть этого равенства...". Но такая подстановка не дала ответа. Имеем исходное равенство:
$x_1^* e_1^*+ x_2^* e_2^*+...+x_n^* e_n^* =x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$
Подставим значения $e_1^*, e_2^*,...,e_n^*$:
$x_1^* (a_{11} e_1 + a_{12} e_2+...+ a_{1n}e_n)+ x_2^* (a_{21} e_1 + a_{22} e_2+...+ a_{2n}e_n)+...+x_n^* (a_{n1} e_1 + a_{n2} e_2+...+ a_{nn}e_n) =x_1 e_1+ x_2 e_2+...+x_n e_n$
Если выразить отсюда $x_1$, $x_2$ и $x_n$, нужные равенства получить не удаётся. Получаются громоздкие выражения, которые не удаётся преобразовать, например:

$x_1=\frac{x_1^* (a_{11} e_1 + a_{12} e_2+...+ a_{1n}e_n)+ x_2^* (a_{21} e_1 + a_{22} e_2+...+ a_{2n}e_n)+...+x_n^* (a_{n1} e_1 + a_{n2} e_2+...+ a_{nn}e_n) - x_2 e_2-...-x_n e_n}{e_1}$

И ещё. Было бы здорово не только понять, как осуществлены преобразования, но и математический смысл выражений загадочной конечной системы.
Мне ясно, почему каждый вектор нового базиса есть линейная комбинация векторов старого: в сумме с ним они линейно зависимы, т. к. количество линейно независимых векторов соответствует базису и, следовательно, прибавление к сумме базисных любого небазисного вектора (каким и является в данном базисе один из векторов, задающих новый базис) превращает эту сумму в сумму линейно зависимых векторов.
Но почему то же самое распространяется на координаты рассматриваемого в двух базисах вектора? Почему координата в одном базисе, к примеру, абсцисса, задаётся через все координаты в другом, например, абсциссу, ординату и аппликату?

[patzer2097]

BENEDIKT в сообщении #819499 писал(а):

прибавление к сумме базисных любого небазисного вектора (каким и является в данном базисе один из векторов, задающих новый базис) превращает эту сумму в сумму линейно зависимых векторов.

понимаете, в чем дело. Вы с таким подходом никогда ничего и не поймете зачем Вам читать про матрицы перехода, начните с более простых вещей, которых не понимаете. например, что такое линейное пространство? линейная зависимость векторов? базис пространства? координаты вектора в каком-то базисе?

-- Пн янв 27, 2014 03:49:11 --

а если по сути, то посмотрите просто какие коэффициенты стоят при $e_i$ в предпоследней выключной формуле, отсюда и получатся $n$ равенств, которые Вы хотите получить. Только вот делить на $e_1$ не надо, а то разделите так на экзамене и получите два.

[ewert]

BENEDIKT в сообщении #819499 писал(а):

Если выразить отсюда $x_1$, $x_2$ и $x_n$, нужные равенства получить не удаётся.

Их не "выражать" надо. Нужно просто перегруппировать слагаемые в левой части, вынеся каждый базисный вектор за скобки. А потом просто приравнять коэффициенты при базисных векторах слева и справа -- автоматически преобразование координат и выплывет.

[Oleg Zubelevich]

символически скажем так $e=(e_1,\ldots,e_m),\quad e'=(e'_1,\ldots,e'_m)$
$e'=eA$, где $A$ -- матрица перехода, $ex=e'x',$ где $ x=(x_1,\dots,x_m)^T,\quad x'=(x'_1,\dots,x'_m)^T$
откуда $ex=eAx',\quad x=Ax',\quad x'=A^{-1}x$

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #819512 писал(а):

символически скажем так $e=(e_1,\ldots,e_m),\quad e'=(e'_1,\ldots,e'_m)$
$e'=eA$,

Так не скажем -- система в стартовом посте означает $e'=Ae$ для столбцов (соответственно, на выходе матрица получается не обратная, а контрградиентная).

[BENEDIKT]

patzer2097 в сообщении #819503 писал(а):

Вы с таким подходом никогда ничего и не поймете

Вы правы, я слишком упрощённо всё понял. Возможно, я также выбрал не очень удачный учебник. Например, собственно о базисе в нём сказано лишь следующее: "Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом". И больше ничего. При этом даже в Википедии разъясняется геометрический смысл понятия "базис".

ewert в сообщении #819510 писал(а):

Их не "выражать" надо. Нужно просто перегруппировать слагаемые в левой части, вынеся каждый базисный вектор за скобки. А потом просто приравнять коэффициенты при базисных векторах слева и справа -- автоматически преобразование координат и выплывет.

Теперь ясно.
Большое спасибо всем за помощь.

[patzer2097]

BENEDIKT в сообщении #819661 писал(а):

Возможно, я также выбрал не очень удачный учебник. Например, собственно о базисе в нём сказано лишь следующее: "Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом".

ну это Вы тогда еще мягко выразились про "не очень удачный учебник"

[nnosipov]

ewert в сообщении #819514 писал(а):

Так не скажем

А почему? Записывать систему векторов (базис) в виде строки векторов --- чем плохо?

[ewert]

nnosipov в сообщении #819721 писал(а):

Записывать систему векторов (базис) в виде строки векторов --- чем плохо?

Да ради бога. Даже и хорошо, и даже лучше. Только тогда в равенстве Oleg Zubelevich должна стоять не сама матрица, а транспонированная (обозначения-то ведь к этому моменту уже фиксированы).

-- Пн янв 27, 2014 22:00:11 --

patzer2097 в сообщении #819665 писал(а):

BENEDIKT в сообщении #819661 писал(а):

Возможно, я также выбрал не очень удачный учебник. Например, собственно о базисе в нём сказано лишь следующее: "Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом".

ну это Вы тогда еще мягко выразились про "не очень удачный учебник"

Ну это ещё как сказать. Понятие размерности запросто может быть определено ещё до понятия базиса (это даже и естественнее: понятие размерности более фундаментально).

[Joker_vD]

...максимально возможная длина цепочки из линейных подпространств?

[ewert]

Joker_vD в сообщении #819748 писал(а):

...максимально возможная длина цепочки из линейных подпространств?

Нет, это как-то уж совсем перебор: и понятие подпространства излишне, и какая-то загадочная "цепочка" к тому же. Всё гораздо проще. Понятие линейной независимости, естественно, первично (при любом подходе). А коль скоро оно есть -- напрашивается естественный вопрос: а сколько вообще может быть линейно независимых векторов?... После чего напрашивается не менее естественное определение: размерность -- это максимально возможное их количество. Или то же самое, но аккуратно:

"Определение. Число $n$ называется размерностью линейного пространства $L$ (обозначение: $n=\dim L$), если в этом пространстве существует набор из $n$ линейно независимых векторов и при этом любые $(n+1)$ векторов линейно зависимы."

Корректность определения проверяется очень легко, после чего напрашивается ровно то определение, как в том учебнике. И этот подход, на мой взгляд -- наиболее идеен.

[patzer2097]

ewert в сообщении #819760 писал(а):

"Определение. Число $n$ называется размерностью линейного пространства $L$ (обозначение: $n=\dim L$), если в этом пространстве существует набор из $n$ линейно независимых векторов и при этом любые $(n+1)$ векторов линейно зависимы." <...> И этот подход, на мой взгляд -- наиболее идеен.

вряд ли, переписав стандартное определение в частнм случае конечномерного пространства, можно проявить какие-то новые идеи

[mihailm]

Для технарей идейность математическая ни к чему (что-то мне кажется что BENEDIKT не на мехмат собрался).

ewert в сообщении #819760 писал(а):

"Определение. Число $n$ называется размерностью линейного пространства $L$ (обозначение: $n=\dim L$), если в этом пространстве существует набор из $n$ линейно независимых векторов и при этом любые $(n+1)$ векторов линейно зависимы."

Прям вижу кислые морды своих студентов-програмистов)))
Базисом пространства называется набор n векторов через которые все выражается и выражается однозначно

[ewert]

patzer2097 в сообщении #819764 писал(а):

переписав стандартное определение в частнм случае конечномерного пространства,

А оно далеко не частное. Просто за ним (или параллельно с ним, или перед ним) идёт не менее естественное допопределение:

"Пространство называется бесконечномерным (обозначение: $\dim L=\infty$), если в нём существуют наборы из сколь угодно большого количества линейно независимых векторов."

А вот как Вы дадите "стандартное" определение базиса для "общего" случая -- это воистину любопытно.

-- Пн янв 27, 2014 22:46:50 --

mihailm в сообщении #819768 писал(а):

Базисом пространства называется набор n векторов через которые все выражается и выражается однозначно

А откуда следует, что такой набор существует или даже хотя бы может существовать?... Из аксиоматики линейного пространства это отнюдь не следует (т.е. следует, но совсем не очевидно заранее).

Даже для программистов желательно владеть элементарной логикой.

[AV_77]

ewert в сообщении #819770 писал(а):

А вот как Вы дадите "стандартное" определение базиса для "общего" случая -- это воистину любопытно.

Линейно независимая система образующих.