Переход к новому базису векторного пространства

[ewert]

svv в сообщении #820811 писал(а):

а учебник
?

А кому он (кому конкретно этот) нужен?... Я даже и не знаю, кто он (и, честно говоря, и знать не хочу). Даже если он вдруг и суперзамечателен и суперавторитетен. Учебников -- полно; надобно же -- не шашечки, а ехать.

-- Чт янв 30, 2014 22:47:41 --

Joker_vD в сообщении #819880 писал(а):

Собственно, я знаю ровно два учебника, в котором сначала вводится размерность, а потом понятие базиса — это П.С. Александров, "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры" и Ефимов–Розендорн.

Собственно, этого уже вполне достаточно. Во всяком случае, все последующие товарищи по сравнению с ними вполне факультативны. Но дело даже не в этом. Дело вот в чём: если, допустим, Александров по рассеянности (ну допустим, что по рассеянности) дал вдруг внятное определение -- так что, за это его расстреливать, что ли?...

[AV_77]

С точки зрения практики, возможно, но не очевидно, размерность более важна. Но для теории основным понятием является именно базис. Так как понятие базиса, как независимой в том или ином смысле системы порождающих, намного более общее и имеет аналогии, например, в теории групп (свободные группы при этом некоторым аналогом размерности будет ранг) и, в особенности, абелевых групп и модулей.

[Munin]

ewert в сообщении #820862 писал(а):

А кому он (кому конкретно этот) нужен?...

Лично вам - чтобы вы не выглядели несущим безответственную отсебятину.

ewert в сообщении #820862 писал(а):

Учебников -- полно; надобно же -- не шашечки, а ехать.

Ехать, однако же, надобно не на одном колесе...

ewert в сообщении #820862 писал(а):

Во всяком случае, все последующие товарищи по сравнению с ними вполне факультативны.

Ленг факультативен? Эдвардс? Халмош? Бурбаки? Хм-м-м...

[Sicker]

ИМХО, вопрос о размерности и базисе сродни вопросу о курице и яйце

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #819745 писал(а):

Ну это ещё как сказать. Понятие размерности запросто может быть определено ещё до понятия базиса (это даже и естественнее: понятие размерности более фундаментально).

когда начинаете рассуждать про "естественность" и "фундаментальность" то надо писать ИМХО, дабы не попадать в глупое положение:

Бурбаки Алгебра Часть1:

ewert в сообщении #820795 писал(а):

Не рассмотрим. Это никому не интересный частный случай -- неинтересный именно в силу сугубой частности.

я просто привожу формальные контрпримеры к Вашей чепухе. Ваше мнение о том, что кому интересно, мне безразлично.

ewert в сообщении #820795 писал(а):

Линал чётко определяет понятие конечной размерности, и именно оно для него (ну или неё) только и интересно, а интересно -- лишь потому, что практически значимо

Что значимо, а что нет, является Вашим субъективным суждением, обусловленным Вашим кругозором. Не более.

ewert в сообщении #820795 писал(а):

Соответственно, он (ну или она) в состоянии вполне корректно определить понятие бесконечной размерности. А варианты обобщения -- это уже не её (ну или не его) дело. Не забывайте, что речь-то изначально шла именно о линейной алгебре.

Странно, только что Вы настаивали на рассмотрении и бесконечномерных пространств:

ewert в сообщении #819776 писал(а):

И не забывая при этом, кстати, что бесконечномерные пространства -- они как-то в природе тоже почему-то иногда случаются.

Кстати, не надо путать линейную алгебру и теорию конечномерных пространств.

-- Пт янв 31, 2014 12:07:34 --

Sicker в сообщении #820982 писал(а):

ИМХО, вопрос о размерности и базисе сродни вопросу о курице и яйце

естественно

[ewert]

Munin в сообщении #820883 писал(а):

Ленг факультативен? Эдвардс? Халмош? Бурбаки? Хм-м-м...

Бурбаки -- безусловно. Предыдущие -- не безусловно, но уж точно по сравнению с Александровым или Ефимовым-Розендорном.

AV_77 в сообщении #820876 писал(а):

С точки зрения практики, возможно, но не очевидно, размерность более важна. Но для теории основным понятием является именно базис.

Верно с точностью до наоборот. Вычислительно важен, безусловно, базис, теоретически же он вторичен, ибо в бесконечномерном случае слишком часто его приходится притягивать за уши (в отличие от размерности).

[Munin]

ewert в сообщении #821094 писал(а):

Вычислительно важен, безусловно, базис, теоретически же он вторичен, ибо в бесконечномерном случае слишком часто его приходится притягивать за уши (в отличие от размерности).

А как вы относитесь к математическим объектам, для которых возможны разные базисы, по которым получаются разные размерности?

(Оффтоп)

Ряд сходится не безусловно, но уж точно...

[ewert]

Munin в сообщении #821100 писал(а):

А как вы относитесь к математическим объектам, для которых возможны разные базисы, по которым получаются разные размерности?

а-а, это по одному базису размерность получается два, а по другому -- три, да?...

-- к ним отношусь очень хорошо. Хочется им не существовать -- ну так и ради бога.

[Oleg Zubelevich]

Справка.

Рассмотрим линейное пространство $X$.
I) Базисом Гамеля называется множество векторов $\{e_\tau\}\subset X$ такое, что
1) каждое конечное подмножество данного множества линейно независимо
2) всякий элемент $x\in X$ раскладывается в сумму $x=\sum_{i=1}^nx_i e_{\tau_i}$.
Мощности любых двух базисов Гамеля в данном пространстве одинаковы. Мощность базиса Гамеля называется алгебраической размерностью пространства. Базис Гамеля существует в любом пространстве.


Пусть теперь $X$ -- банахово пространство.
II) Базисом Шаудера называется последовательность векторов $\{e_i\}_{i\in \mathbb{N}}\subset X$ такая, что
1) любой элемент $x\in X$ раскладывается в сумму $x=\sum_{i=1}^\infty x_ie_i$ Ряд сходится по норме, условно, вообще говоря.
2) числа $x_i$ определены элементом $x$ однозначно.

Если в пространстве $X$ существует базис Шаудера, то это пространство сепарабельно. Обратное неверно.
В конечномерном пространстве над $\mathbb{R},\mathbb{C}$ со стандартной топологией понятия базиса Гамеля и базиса Шаудера совпадают.

В бесконечномерном банаховом пространстве мощность базиса Гамеля не меньше континума.

III) В любом Гильбертовом пространстве $H$ существует система элементов $e=\{e_\tau\}$ такая что:
1) $(e_{\tau},e_\mu)=\delta_{\tau\mu}$
2) если $(u,e_\tau)=0$ для всех элементов системы $e$, то $u=0$.
Эта система называется ортонормированным базисом гильбертова пространства.

Утв. Всякий элемент $x\in H$ раскладывается в сумму
$x=\sum_{i\in\mathbb{N}}x_ie_{\tau_i}$ и это разложение единственно, ряд сходится абсолютно

Мощности любых двух ортонормированных базисов гильбертова пространства одинаковы.
Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда когда его ортонормированный базис состоит из счетного множества элементов.
В сепарабельном гильбертовом пространстве ортонормированный базис является базисом Шаудера.

[BVR]

Сначала определить размерность, а потом базис или наоборот зависит от целей курса. Если вы ограничиваетесь курсом обычной линейной алгеброй и конечномерными векторными пространствами, то неважно в какой последовательности.
А вот раньше, на специальности "Информационные системы" я знал, что потом, в следующем семестре, будут ряды Фурье. Поэтому пошел по Колмогорову-Фомину: Сначала дается определение $n$-мерного векторного пространства, а потом уже базиса $n$-мерного в. п. Потом, через полгода, об этом напомнил и вроде полегче было говорить о базисах бесконечномерного в. п.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #821193 писал(а):

Рассмотрим линейное пространство $X$.
I) Базисом Гамеля называется множество векторов $\{e_\tau\}\subset X$ такое, что
1) каждое конечное подмножество данного множества линейно независимо
2) всякий элемент $x\in X$ раскладывается в сумму $x=\sum_{i=1}^nx_i e_{\tau_i}$.
Мощности любых двух базисов Гамеля в данном пространстве одинаковы. Мощность базиса Гамеля называется алгебраической размерностью пространства. Базис Гамеля существует в любом пространстве.

Совершенно верно. И только после этого следует давать таблицу умножения -- и боже упаси ранее!

BVR в сообщении #821195 писал(а):

Если вы ограничиваетесь курсом обычной линейной алгеброй и конечномерными векторными пространствами, то неважно в какой последовательности.

Дело не в ограниченности, а в последовательности изложения. "Обычная" линейная алгебра в любом варианте идёт в самом начале. И в её рамках никакие изыски не уместны абсолютно. Какое при этом понятие (размерности или базиса) принимать за первичное -- дело вкуса, конечно. Просто в первом случае логика выстраивается проще и естественнее.