Переход к новому базису векторного пространства

[ewert]

AV_77 в сообщении #819774 писал(а):

Линейно независимая система образующих.

А теперь попытайтесь дать определение образующих. Исходя только из аксиоматики.

И не забывая при этом, кстати, что бесконечномерные пространства -- они как-то в природе тоже почему-то иногда случаются.

[patzer2097]

ewert в сообщении #819770 писал(а):

А оно далеко не частное. Просто за ним (или параллельно с ним, или перед ним) идёт не менее естественное допопределение:

и для него Ваше определение размерности не годится

ewert в сообщении #819770 писал(а):

А вот как Вы дадите "стандартное" определение базиса для "общего" случая -- это воистину любопытно.

как mihailm предложил выше, базис - линейно независимая система векторов, через которую линейно выражается любой вектор пространства

[ewert]

patzer2097 в сообщении #819777 писал(а):

базис - линейно независимая система векторов, через которую линейно выражается любой вектор пространства

Тогда его, вообще говоря, не существует. И, следовательно, не существует (согласно вашему подходу) и понятия размерности. Все щастливы?...

[SpBTimes]

Давайте я предложу, хотя ewert все равно обругает

Линейное пространство имеет размерность $n$, если в нем существует $n$ ЛНЗ элементов, а любые $n + 1$ элементов уже ЛЗ

Совокупность ЛНЗ элементов $\{e_i\}$ называется базисом пространства, если каждый элемент пространства может быть разложен в линейную комбинацию $\{e_i\}$.

[patzer2097]

ewert в сообщении #819779 писал(а):

Тогда его, вообще говоря, не существует.

Вас не понял. надеюсь, это Вы к тому, что можно отрицать аксиому выбора? если к этому, то да, - не существует и не надо. Без AC много чего может не существовать

-- Пн янв 27, 2014 22:03:10 --

SpBTimes в сообщении #819780 писал(а):

Линейное пространство имеет размерность $n$, если в нем существует $n$ ЛНЗ элементов, а любые $n + 1$ элементов уже ЛЗ

ewert это уже предлагал, но это не годится для бесконечномерного пространства

[AV_77]

ewert в сообщении #819776 писал(а):

А теперь попытайтесь дать определение образующих. Исходя только из аксиоматики.

А в чем сложность? Если $M$ - множество, то его линейная оболочка $\langle M \rangle = \{ \alpha_1 m_1 + \ldots + \alpha_k m_k \mid \alpha_i \in P,\ m_i \in M \}$ - это множество конечных линейных комбинаций векторов из $M$. При этом $M$ - система порождающих линейной оболочки $\langle M \rangle$. Линейно независимая система порождающих - базис. Разницы никакой, что для конечномерных пространств, что для бесконечномерных.

[SpBTimes]

patzer2097
Почему? Пространство называется бесконечномерным, если в нем существует любое число ЛНЗ элементов.
Корявенько как-то, правда..

[patzer2097]

SpBTimes в сообщении #819786 писал(а):

Почему? Пространство называется бесконечномерным, если в нем существует любое число ЛНЗ элементов.

я имел в виду, что Ваше определение размерности годится только для конечномерных пространств оно не поможет нам проверить (например), что размерность $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ равна континууму

[ewert]

SpBTimes в сообщении #819780 писал(а):

хотя ewert все равно обругает

чего я буду ругаться, когда Вы ровно меня же и повторили. Это -- одно из нескольких возможных эквивалентных продолжений понятия размерности.

patzer2097 в сообщении #819782 писал(а):

это Вы к тому, что можно отрицать аксиому выбора?

А вот да, между кстати. Т.е. не то что отрицать буду, но и осознавать следует чётко: базисы Гамеля 1) вычислительно не существуют и 2) их даже и абстрактное существование заранее далеко не очевидно. Т.е. как первичные объекты они никуда не годятся. Это уж потом, глубоко потом с ними можно будет поразвлекаться, если вдруг захочется.

А вы говорите -- программисты.

[SpBTimes]

patzer2097
ну, это да...

ewert
а я не видел, есс честно, пардонюсь

[ewert]

patzer2097 в сообщении #819788 писал(а):

я имел в виду, что Ваше определение размерности годится только для конечномерных пространств

т.е. формальное определение бесконечной размерности годится только для случая, когда размерность конечна -- т.е. для именно того случая, когда в этом определении предполагается отсутствие конечности, да?... Своеобразная логика, да.

[patzer2097]

ewert в сообщении #819805 писал(а):

т.е. формальное определение бесконечной размерности годится только для случая, когда размерность конечна <...> Своеобразная логика, да.

еще раз, базисом я называю линейно независимую систему векторов, через которую линейно выражается любой вектор пространства. А размерностью в этом случае - мощность базиса. Это определение годится для пространств любой конечной и бесконечной размерности.
А пользуясь Вашим определением, мы не сможем показать (в частности), что размерность $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ равна континууму.

[provincialka]

Бедный, бедный ТС! Куда вас занесло от его скромных заблуждений... Читает, наверное, а глаза на лоб лезут...

[ewert]

patzer2097 в сообщении #819812 писал(а):

А пользуясь Вашим определением, мы не сможем показать (в частности), что размерность $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ равна континууму.

А нам пока и не нужно. Нам пока что нужно разобраться в том, что конечно и что бесконечно, и как это согласуется с практикой (Гамели -- ровно никак не согласуются; если сомневаетесь -- попытайтесь заставить программистов запрограммировать хоть одного из Гамелей). Континуумами можно будет уже потом баловаться.

У вас просто приоритеты расставлены патологически неверно.

-- Пн янв 27, 2014 23:59:31 --

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #819819 писал(а):

Бедный, бедный ТС! Куда вас занесло от его скромных заблуждений... Читает, наверное, а глаза на лоб лезут...

я уже наябедничал по этому поводу на всех нас

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Вопросы преподавания»