Дифференциально-функциональное уравнение?

[ellipse]

Как решать уравнение вида $y'(x)=ky(x-a)$ ?

И более общо: $y'(x)=f(x, y(x-a))$ ?

[exitone]

ellipse в сообщении #818950 писал(а):

Как решать уравнение вида $y'(x)=ky(x-a)$ ?

как обычно
просто потом в интеграле сделать замену переменной?

[Vince Diesel]

Это называется ДУ с запаздывающим аргументом. Там целая теория. http://www.nsc.ru/rus/textbooks/akhmero ... /s-35.html

[V.V.]

Ну, например, можно сделать преобразование Лапласа и в явном виде получить решение для изображения. Правда, непонятно как находить после этого оригинал...

[mihiv]

Попробуем искать решение в виде $y(x)=e^{bx}$, где $b$-некоторая постоянная. Подставив $y(x)$ в ДУ, получим для определения $b$ уравнение $be^{ba}=k$. Для положительных $k,a$ это уравнение имеет единственное решение: $b=b_0(a,k)$. Таким образом решение ДУ имеет вид $y(x)=Ce^{b_0x}$. Постоянную $C$ найдем из начального условия.

[Vince Diesel]

Это будет одно из решений. Начальные условия для задачи Коши в этом случае задаются на отрезке: $y(x)=\varphi_0(x)$ на $[0,a]$. В данном случае экспонента будет решением задачи с $\varphi_0(x)=C e^{b_0 x}$.