Сила натяжения нити

[ewert]

Joker_vD в сообщении #818124 писал(а):

Кажется, я где-то читал, что если при выводе уравнения струны разрешить сжатие нити, то получится уравнение Лапласа,

Это сильно вряд ли -- волновости-то ведь некуда деваться. Скорее всего получится снова волновое, только двумерное (в смысле с оператором типа Лапласа по смещениям).

[exitone]

Munin в сообщении #818272 писал(а):

Тогда с вас и формулы.

А для Вас "задача коши" включает в себя термин "краевая задача"? просто в уравнении лапласа нет времени.

[Munin]

ewert в сообщении #818406 писал(а):

Это сильно вряд ли -- волновости-то ведь некуда деваться. Скорее всего получится снова волновое, только двумерное (в смысле с оператором типа Лапласа по смещениям).

Не двумерное, а система двух одномерных (или векторное одномерное).

exitone в сообщении #818417 писал(а):

А для Вас "задача коши" включает в себя термин "краевая задача"? просто в уравнении лапласа нет времени.

Нет, не включает. Вы сначала уравнение Лапласа получите :-)

[exitone]

Munin в сообщении #818433 писал(а):

Нет, не включает. Вы сначала уравнение Лапласа получите

электростатическое поле в области, где нет зарядов?

[Munin]

Нет, в указанных условиях:

Joker_vD в сообщении #818124 писал(а):

если при выводе уравнения струны разрешить сжатие нити

[exitone]

(Оффтоп)

что не понятного-то, сжатие нити замораживает время
мы на границе новых и великих открытий

[EtCetera]

ewert в сообщении #817377 писал(а):

EtCetera в сообщении #817236 писал(а):

и/или нерастяжимы (что в данной задаче совершенно не важно).

Вообще-то важно, иначе постановка задачи неполна -- если нить растяжима, то в системе возможны колебания (в зависимости от начальных условий). А в случае колебаний амплитудное значение силы окажется больше.

Действительно, там же д.у. второго порядка относительно длины нити... Только колебания не "возможны", а будут всегда, по-видимому (по крайней мере, если массы тел ненулевые, а нить упруга). Если тела в начале и правда "лежат", то есть покоятся, причем расстояние между ними равно длине нити в свободном состоянии, то значение амплитудной силы получается вдвое больше величины, найденной для нерастяжимой нити. Даже странно, почему.

[ewert]

EtCetera в сообщении #818501 писал(а):

Только колебания не "возможны", а будут всегда, по-видимому

Зависит от начальных условий. Сила удвоится в идеализированной ситуации, когда тела вначале покоятся, а потом к одному из них мгновенно прикладывается постоянная сила. Однако в боевой обстановке внешняя сила нарастает сравнительно медленно, в то время как колебания нити высокочастотны и быстро затухают (это всё-таки нить). Поэтому в ходе переходного процесса мгновенные значения сил натяжения нити и внешней практически совпадают, тем более по его завершении.

[Joker_vD]

Если линейная плотность нерастяжимой несжимаемой нити равна $\rho$, модуль растягивающей силы равен $T>0$, то уравнение малых колебаний будет иметь вид $u_{tt}-v^2u_{xx}=0$, $v^2=\frac T\rho>0$. Заменяем растяжение на сжатие, $T<0$, и получаем уравнение $u_{tt}+k u_{xx}$, $k=-\frac T\rho>0$ — это, конечно, не совсем Лаплас, но оно все равно эллиптическое.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #818910 писал(а):

Заменяем растяжение на сжатие,

Попытайтесь. Купите струну и попробуйте её сжать.

[Skeptic]

В задаче задана прочность нити. Насколько я понимаю, прочность нити не зависит от её коэффициента растяжимости, растяжение нити не влияет на её прочность. Поэтому в задаче о ней ни слова. И как бы нить не колебалась при растяжении - это не изменит её прочность на разрыв.

[EtCetera]

ewert в сообщении #818539 писал(а):

Сила удвоится в идеализированной ситуации, когда тела вначале покоятся, а потом к одному из них мгновенно прикладывается постоянная сила.

Разумеется. Именно такая ситуация обычно предполагается в подобных задачах.

ewert в сообщении #818539 писал(а):

Однако в боевой обстановке внешняя сила нарастает сравнительно медленно, в то время как колебания нити высокочастотны и быстро затухают (это всё-таки нить).

Обстановку можно с разной точностью приближать к "боевой". Обычно в "боевой обстановке" присутствует также трение скольжения, из-за которого второе тело (как и первое, собственно, но это не важно) будет достаточно резко отрываться от своего положения, что сводит на нет плавность процесса нарастания внешней силы.

[Skeptic]

arseniiv в сообщении #817450 писал(а):

Более-менее спасибо всем.

Если нерастяжимость в силе, тогда ускорения тел совпадают, и $\mathbf F = \mathbf T_0 \frac{m_1 + m_2}{m_1}$, но в общем случае что можно сказать?

arseniiv, решил задачу, как она поставлена. В задаче нет условия на растяжимость нити, значит она не влияет на решение задачи, есть только невесомость нити.

А если вводить дополнительные условия, давайте вспомним, что при растяжении нить нагревается, что приводит к её дополнительному удлинению. Тут уже без учета молекулярных связей не обойтись, а лучше сразу шарахнуть на квантовый уровень, тогда постоянную Планка можно будет пристроить.

[DimaM]

(Оффтоп)

Skeptic в сообщении #819001 писал(а):

при растяжении нить нагревается

Резина, вроде, при растяжении охлаждается.

[nikvic]

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #819030 писал(а):

Резина, вроде, при растяжении охлаждается.

Растянутая резина при нагревании увеличивает натяжение - факт.
Обратный эффект - на факт?