Идеален ли идеальный двухатомный газ?

[Munin]

Рассмотрим такой классический газ:
Молекула $\stackrel{\mathrm{def}}{=}$ гантель, состоящая из двух массивных материальных точек и соединяющего их невесомого недеформируемого прямого стержня. Все размеры, кроме длины стержня $l_0,$ нулевые (пренебрежимо малы).

Столкновение двух молекул происходит, видимо, только "стержень по стержню", и по законам сохранения энергии, импульса, момента импульса (всего 7 законов). Кажется, этого недостаточно для однозначного определения результата (необходимо найти 10 неизвестных). Хотя это ещё надо посмотреть поподробней. Допустим, что неопределённые переменные распределены равновероятно.

Идея в том, что в таком газе длина свободного пробега будет конечной. Кстати, первое упражнение (студенческого уровня): оценить длину свободного пробега.

Вопросы (я так понимаю, исследовательского уровня):

1. Как будет выглядеть уравнение состояния такого газа? Будем называть уравнением состояния соотношение $E=f(P,V)$ или $T=f(P,n).$

2. Какие возможны конденсированные фазы и фазовые переходы в таком газе?

Чисто "на пальцах" я могу представить себе три конденсированные фазы:
- "объёмно-перепутанную" - произвольно скомканные иголки;
- "двумерную" - иголки, набросанные слоями, и перепутанные только в плоскости;
- "одномерную" - иголки, ориентированные (почти) одинаково.
Максимальная плотность "двумерной" и "одномерной" фаз бесконечна, для "объёмно-перепутанной" - конечна.

3. (на смекалку) В чём подлянка?

[Sergey K]

хм...

длина двухатомной молекулы воздуха в районе 0.3 нм. Расстояние меду ними в районе 3.3 нм, разница порядок.

С учетом того что в МД на расстояниях более $1,5l_0$-$2l_0$ взаимодействиями очень часто пренебрегают вообще, а на меньших расстояниях молекулы в следствии высокой скорости движения бывают очень не долго, то вполне возможно, результаты будут не сильно отличаться от одноатомной модели идеального газа. Не в этом ли подвох? В конце концов идеальный газ - это когда взаимодействием между молекулами можно пренебречь. А вообще интересно. жаль времени мало, чтобы попробовать оценить.

[Munin]

Sergey K в сообщении #818148 писал(а):

В конце концов идеальный газ - это когда взаимодействием между молекулами можно пренебречь.

Ну что значит, "можно"? Идеальный газ всегда рассматривается на временах и пространственных масштабах, на которых столкновения заведомо происходят, и достаточно много, чтобы установилось термодинамическое равновесие, и равновесное распределение (в классике - Максвелл-Больцман).

Иначе это будет не идеальный газ, а какое-то неравновесное распределение, то есть куда более сложная задача - кинетическая. Столько-то молекул с такой-то скоростью летят туда, и с течением времени туда перемещаются, и потом они уже там, а не здесь. А в то же время столько-то молекул с другой скоростью... Кинетическое уравнение. Оно может быть бесстолкновительным (тогда снова простой случай), например, фотоны в вакууме и нейтрино так себя ведут, но это уже другой физический случай, не газ.

[Утундрий]

Munin в сообщении #817939 писал(а):

Как будет выглядеть уравнение состояния такого газа?

А как оно технически получается из равновесного распределения? (10ЛЛ я так и не проработал по-человечески.)

P.S.

(Оффтоп)

Как раз сейчас подумываю о похожей задаче об "усатых галактиках": газ "юл", в коем значимы "столкновения" двух типов: скрещивания дисков и пересечения дисков осями

[Sergey K]

Я вовсе не имел ввиду отказ от столкновений) да, плохо выразился...

[Munin]

Утундрий в сообщении #818419 писал(а):

А как оно технически получается из равновесного распределения? (10ЛЛ я так и не проработал по-человечески.)

Тут 5-го тома достаточно. Берём равновесное распределение, интегралы по нему дают энергию и давление при заданной температуре и объёме. А потом меняем температуру и объём. Объём - оставляя число частиц неизменным, или если всё считаем на единицу объёма - меняем число частиц (химпотенциал).

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #818419 писал(а):

Как раз сейчас подумываю о похожей задаче об "усатых галактиках": газ "юл", в коем значимы "столкновения" двух типов: скрещивания дисков и пересечения дисков осями

Галактики сталкиваются далеко не как твёрдые тела...

[Утундрий]

Munin в сообщении #818462 писал(а):

Тут 5-го тома достаточно.

А, тогда разберусь. По свободе. Буде ей случиться...

Munin в сообщении #818462 писал(а):

Галактики сталкиваются далеко не как твёрдые тела...

Это тонкости. Интересно грубо оценить взаимосвязь двух типов событий (взаимодействие галактик и визуализацию импактного джета) и их зависимость от средней плотности.

[Munin]

Утундрий в сообщении #818499 писал(а):

Это тонкости.

Не-а, не тонкости. Число частиц меняется, энергия не сохраняется. Вся статистика насмарку (точнее, возникает новая).

[Утундрий]

(Оффтоп)

Пардон, голова не варила когда писал. Разумеется речь не идёт о какой-то динамике. Это вообще не газ, а чисто статистическая задача: набросать, посчитать, повторить 100500 раз, осреднить. Таким образом, всё что выше наговорено в оффтопе оффтоп и есть и лучше будет его прекратить.

[verevka]

столкновения не центрами масс
+ для трёх- (и более) частичных столкновений вероятности совершенно другие

длина стержня должна войти в функции распределения и, далее, в макропараметры.

неочевидно, что будет устойчиво, когда температура поступательных степеней свободы и температура вращательной степени свободы сравняются.

может, такие системы надо только кинетическими уравнениями описывать?

термодинамическое равновесие, когда внутренние процессы не изменяют макроскопических параметров, здесь, может быть, должно включать критерий, связанный с раскручивающими столкновениями: с вероятностями столкновений в разных точках стержня. извините, криво пишу(

[verevka]

наверно, надо думать про то, какова вероятность, что после столкновения один другого не зацепит ещё раз, какова вероятность, что один не будет скользить по другому, ...

то есть столкновения не в один такт.

время взаимодействия $\in [0,\tau]$: от мгновенных до тех, где $\tau$ реализует произвол в обрезании маловероятных случаев.

у настоящего газа тоже надо как-то (аттосекундным лазером?) померить, каков интервал времени взаимодействия (какой длины имеет смысл выбирать) и как по нему распределена вероятность.

мне кажется, именно на этом уровне надо сравнивать настоящий двухатомный газ, который хорошо моделируется одноатомным идеальным, с теоретическим идеальным* из стерженьков.

станет понятно, станет ли эта модель следующим приближением или надо сразу заряды учитывать вместе с длиной стержня.

может, аттосекунды -- это недостаточно, и надо поэтому пытаться анализировать эффекты, которые вылезут на макроскопическом уровне?

если этот момент не обосновать, то становится неинтересно(

а вы в какую сторону думаете?

---
* -- я пишу идеальным, потому что думаю, что идеальность и в этом случае можно представлять через разреженность, определяемую через число частиц и куб радиуса взаимодействия (как-н. хитро введенного).

[Munin]

verevka в сообщении #819500 писал(а):

+ для трёх- (и более) частичных столкновений вероятности совершенно другие

Другие по сравнению с чем?

verevka в сообщении #819500 писал(а):

длина стержня должна войти в функции распределения и, далее, в макропараметры.

Согласен.

verevka в сообщении #819500 писал(а):

неочевидно, что будет устойчиво, когда температура поступательных степеней свободы и температура вращательной степени свободы сравняются.

Об устойчивости в каком смысле вы говорите?

Эти две температуры в термодинамическом равновесии всегда должны быть равны, по определению. И мне непонятно даже, как их из этого равенства вывести.

verevka в сообщении #819500 писал(а):

может, такие системы надо только кинетическими уравнениями описывать?

Кинетические уравнения + условие равновесности распределения = термодинамические статистические уравнения.

Не вижу, по каким причинам такое упрощение не могло бы возникнуть в принципе. Условие равновесности - это просто стационарность $\partial/\partial t=0.$ (Плюс, по желанию, $\partial/\partial x=\partial/\partial y=\partial/\partial z=0.$)

verevka в сообщении #819520 писал(а):

у настоящего газа тоже надо как-то (аттосекундным лазером?) померить, каков интервал времени взаимодействия (какой длины имеет смысл выбирать) и как по нему распределена вероятность.

мне кажется, именно на этом уровне надо сравнивать настоящий двухатомный газ, который хорошо моделируется одноатомным идеальным, с теоретическим идеальным* из стерженьков.

станет понятно, станет ли эта модель следующим приближением или надо сразу заряды учитывать вместе с длиной стержня.

Разумеется, этот газ - не является "теоретическим идеальным двухатомным газом". Это подделка. Но чтобы это заметить, достаточно хорошо знать теоретический идеальный классический газ, а не обязательно глубоко изучать реальный.

В реальном газе даже в одноатомном случае столкновения не моментальные. В реальном газе на масштабе времени столкновения возникают квантовые эффекты. Собственно, всё столкновение рассчитывается по законам квантовой механики, она определеяет и время столкновения, и вероятности возбуждения колебательных и вращательных уровней (и сами уровни, и размеры атомов и молекул). Квантовые поправки сильно меняют поведение газа в конденсированном состоянии, так что квантовые идеальные газы рассматриваются отдельно от классического, и именно переход к ним (и к газу Ван дер Ваальса) является первым следующим приближением после идеального. Предложенный мной газ - пренебрегает эффектами более сильными, и акцентирует более слабые, так что в ряду последовательных приближений реальных газов вообще не появляется.

[verevka]

Munin в сообщении #819635 писал(а):

Предложенный мной газ - пренебрегает эффектами более сильными, и акцентирует более слабые, так что в ряду последовательных приближений реальных газов вообще не появляется.

если это на пустом месте, мне неинтересно.
можно подумать тогда о чём-н. из математики.
*с надеждой* может, газ стерженьков хоть для чего-н. нужен?

Munin в сообщении #819635 писал(а):

Эти две температуры в термодинамическом равновесии всегда должны быть равны, по определению. И мне непонятно даже, как их из этого равенства вывести.

для такой системы неочевидно, каково равновесное распределение и приходит ли в него система до того, как в ней начинают, напр., какие-н. кластеры образовываться.

почему вы так сходу берётесь за систему в т/д равновесии?
тут же весь вопрос в том, как выравниваются температуры...
разве нет?

[Munin]

verevka в сообщении #819641 писал(а):

если это на пустом месте, мне неинтересно.

Это упражнение / toy model.

verevka в сообщении #819641 писал(а):

для такой системы неочевидно, каково равновесное распределение

А вот тут и предлагается его вам рассчитать. В физике многое неочевидно. Но поддаётся расчёту.

verevka в сообщении #819641 писал(а):

и приходит ли в него система до того, как в ней начинают, напр., какие-н. кластеры образовываться.

Про кластеры интересная идея. Как бы вы это рассчитали?

verevka в сообщении #819641 писал(а):

почему вы так сходу берётесь за систему в т/д равновесии? тут же весь вопрос в том, как выравниваются температуры... разве нет?

Потому что это вопрос более простой. А исследование того, как система приходит в равновесие, исследование устойчивости равновесия - это вопросы более сложные, и требуют для начала это равновесие найти.

[verevka]

разве можно, даже в игрушечной системе, разбираться со случаем т/д равновесия, если неизвестно, как устроено элементарное взаимодействие?

как два шарика неупруго сталкиваются мы знаем, а как два стерженька -- нет.
можно поставить числ эксперимент и получить про это статистику.
то же исследовать для n-частичных столкновений, n=3, 4...
обозначим (1).

дальше числ экспер с кинетическими уравнениями для неравновесных систем, использующий результаты (1) и подсчитывающий статистику двух-, трёх- и более частичных столкновений (2)


и на основании этих двух типов экспериментов искать возможное узкое место в совокупности элементарных актов: определить хотя бы наиб. быстрые параллельные и наиб. медленные последовательные явления

потом можно уже и смотреть аналитически/численно кинетику на больших временах, эволюцию системы.
по-честному, с квазиравновесными подсистемами, а не равновесными. локально следить за скоростями изменения т/д сил.


может, она будет эволюционировать через последовательность квазистационарных неравновесных состояний?
может, при достаточно высоких начальных вращательных температурах в системе создаются условия, при которых какие-н. макроскопические возмущения релаксировать не успевают?
может, там сначала часть стерженьков соберётся в кластеры, а потом уже выровняются вращат. и поступат. скорости для оставшихся?

для этого всего надо сперва помыслить "максимально неравновесную систему" (не знаю, как это сказать), для чего надо решить (1) и (2)

а про равновесие если ставить (так, как у вас поставлено), оно ни разу не исследовательское, противоречит духу физики; но спасибо Вам Большое -- некоторым, м.б., так легче перетряхнуть формулы по т/д и статам.