Примеры факторпространства и ядра (геометрические)

[spacer]

Здравствуйте. Никак не могу понять, что такое факторпространство и ядро линейного функционала.
Приведите, пожалуйста, какие-нибудь примеры из геометрии (трехмерное Евклидово пространство).

[provincialka]

Попробуйте в качестве оператора взять проекцию. Скажем, на плоскость, параллельно некоторому вектору. Даже просто проекцию на плоскость $Oxy$ параллельно оси $z$.

[mihailm]

spacer в сообщении #818308 писал(а):

Здравствуйте. Никак не могу понять, что такое факторпространство и ядро линейного функционала.
Приведите, пожалуйста, какие-нибудь примеры из геометрии (трехмерное Евклидово пространство).

Давайте не так.
Приведите сами какие-нибудь примеры линейных функционалов из геометрии, а мы поможем с ядрами (и этими ужасными факторпространствами)

[spacer]

provincialka в сообщении #818327 писал(а):

Попробуйте в качестве оператора взять проекцию. Скажем, на плоскость, параллельно некоторому вектору. Даже просто проекцию на плоскость $Oxy$ параллельно оси $z$.

Все равно не понял, где здесь факторпространство и где ядро. Приведите, пожалуйста, примеры и укажите, где там фактор-пространство и где ядро. Может до меня дойдет тогда.

mihailm в сообщении #818372 писал(а):

Давайте не так.
Приведите сами какие-нибудь примеры линейных функционалов из геометрии, а мы поможем с ядрами (и этими ужасными факторпространствами)

Евклидова норма трехмерных векторов.

Вот читаю у Колмогорова (да и в десятке другом книг). Привожу, чуть вырезав.

Цитата:

Пусть $L$-линейное пространство, а $L'$-некоторое его подпространство. Два элемента $x$ и $y$ из $L$ эквивалентны, если их разность $x-y$ принадлежит $L'$. Это отношение разбивает все $x$ из $L$ на классы. Класс эквивалентных элементов называется классом смежности (по подпространству $L'$). Совокупность всех таких классов называется фактор-пространством $L$ по подпространству $L'$.

Рассуждаю.
Как примеры подпространств трехмерного пространства могу привести: плоскости, отрезки, больше в голову не приходит (может дадите еще примеров). Вот нарисовал как разность одной пары векторов и разность другой пары векторов лежат в одной плоскости(которая есть подпространство трехмерки):

Есть вектора, разности которых лежит в других плоскостях. Для каждой плоскости имеем свой класс векторов, разность которых лежит в ней. Дальше я не понимаю, где здесь фактор-пространство.

Теперь функционал (опущу "линейный" для краткости).

Цитата:

Назовем ядром $J(E)$ произвольного множества $E ⊂ L$ совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y ∈ L$ найдется такое число $e=e(y)>0$, что $x+ty ∈ E$ при $|t|<e$. Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом. В трехмерном Евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр представляют собой выпуклые тела.

Для примера куба в трехмерном пространстве, $L$-трехмерное пространство, $E$-сам куб. $y$ - в общем случае точка трехмерного пространства, которая не обязана быть внутри или на границе куба, но может быть вне его. Что такое $x$, я не могу представить.

[provincialka]

Много всего написано, но вот как раз про функционалы - ничего.

spacer в сообщении #818537 писал(а):

Евклидова норма трехмерных векторов.

Это функционал. Но нелинейный. Я, кстати. тоже не совс\ем тот пример привела: более общий, а именно - оператор. Но функционал - частный случай оператора.

[spacer]

provincialka в сообщении #818540 писал(а):

spacer в сообщении #818537 писал(а):

Евклидова норма трехмерных векторов.

Это функционал. Но нелинейный.

Скалярное произведение?

[provincialka]

Скалярное произведение имеет 2 аргумента, оно билинейно. А вам нужен один. Например, кординатный: $(x,y,z)\to x$. Собственно, при подходящем выборе базиса любой функционал будет выглядеть именно так.

[spacer]

provincialka в сообщении #818540 писал(а):

Много всего написано, но вот как раз про функционалы - ничего.

Мне бы понять сначала фактор-пространство, может я его неправильно понимаю. Пример с плоскостью на рисунке правильный вообще или нет?
Отношение, разбивающее на классы для фактор-пространства, это "принадлежность разности точек пространства к какому-то его подпространству". Если посмотреть на рисунок как пример геометрии в Евклидовом пространстве, то видно, что:
1) разность каждого вектора из$ L$ с самим собой лежит в той же плоскости.
2) разность векторов $x-y$ и $y-x$ имеют разные знаки, но лежат в одной плоскости.
3) если $a-b $ и $b-c$ лежат в одной и той же плоскости, то $a-c$ лежит в той же плоскости
Вроде есть эквивалентность.

[ewert]

Линейный функционал в обычном пространстве (и вообще в любом конечномерном) -- это всегда проекция (скалярная) на какую-то ось. Проекция не обязательно ортогональная, но раз уж нужен именно пример, то проще взять именно ортогональную.

[spacer]

provincialka в сообщении #818548 писал(а):

Скалярное произведение имеет 2 аргумента, оно билинейно. А вам нужен один. Например, кординатный: $(x,y,z)\to x$. Собственно, при подходящем выборе базиса любой функционал будет выглядеть именно так.

Такой функционал: абсолютное значение проекции вектора на ось Ox (ewert опередил). Сумма проекций равна проекции суммы, умножение проеции на скаляр равно проекции вектора, помноженного на скаляр. Вспомнил из учебника Шипачева.

[ewert]

spacer в сообщении #818553 писал(а):

абсолютное значение проекции вектора на ось Ox

Не абсолютное -- это уже нелинейность.

[spacer]

ewert в сообщении #818554 писал(а):

spacer в сообщении #818553 писал(а):

абсолютное значение проекции вектора на ось Ox

Не абсолютное -- это уже нелинейность.

Ах да, точно.

-- 24.01.2014, 07:34 --

То есть ядро такого функционала (проекции) - векторы, ортогональные оси, на которую они проектируются?

[ewert]

spacer в сообщении #818555 писал(а):

ядро такого функционала (проекции) - векторы, ортогональные оси,

Естественно. Т.е. соотв. плоскость.

[provincialka]

spacer в сообщении #818537 писал(а):

Как примеры подпространств трехмерного пространства могу привести: плоскости, отрезки,

Отрезок - точно не подпространство. И плоскость - не всякая. Раз возникло слово "линейность", значит, исходное пространство - векторное. Геометрически удобно считать, что векторы отложены от фиксированной точки. Тогда их концы описывают какое-то подмножество точек $\mathbb R^3$. Какие подмножества будут соответствовать подпространствам?

[spacer]

provincialka в сообщении #818559 писал(а):

Отрезок - точно не подпространство. И плоскость - не всякая.

Прямая, точнее. Сумма двух векторов на прямой будет лежать на прямой, масштабированный вектор тоже будет лежать на прямой. То же для плоскости. Если это не подпространства, то нарушены какие-то из 8-ми свойств операций сложения и умножения на скаляр?

-- 24.01.2014, 09:03 --

provincialka в сообщении #818559 писал(а):

Геометрически удобно считать, что векторы отложены от фиксированной точки. Тогда их концы описывают какое-то подмножество точек $\mathbb R^3$. Какие подмножества будут соответствовать подпространствам?

Плоскость, проходящая через зафиксированную точку?

-- 24.01.2014, 09:05 --

ewert в сообщении #818557 писал(а):

spacer в сообщении #818555 писал(а):

ядро такого функционала (проекции) - векторы, ортогональные оси,

Естественно. Т.е. соотв. плоскость.

А где у куба - то ядро, никак не пойму?