Поток векторного поля

[M<ath]

Тело:
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$
$2x^2+2y^2=4z^2; z \ge 0$
Поле:
$a=a_xi+a_yj+a_zk$
Необходимо лишь расставить пределы. Хотел использовать Теорему Остроградского-Гаусса. Расставил пределы по объёму в сферической системе:

$$\int_{0}^{2\pi } d\varphi\int_{\arctg(2/\sqrt 2) }^{\pi } d\theta\int_{0}^{R} \rho^2 \sin(\theta)d\rho$$

ну и интегрирование соответственно по дивергенции. Сказали, что неправильно, кроме того, хотят решение 2 методами.

[Otta]

А векторное поле что, в общем виде?

[provincialka]

А почему второе уравнение не сократили на 2?
Что видно сразу, без подсчета. Почему вы дивергенцию в интеграл не вписали? И что такое $R$?

[M<ath]

$R$ - это радиус сферы. В данном случае = 1
дивергенцию не вписал, потому что не мог найти, как это в TeX'е будет
да, векторное поле там в общем виде по заданию.
2-ое ур-е мог бы на 2 и сократить, да. тогда нижний предел будет: $\arctg(\sqrt 2)$

[provincialka]

M<ath в сообщении #817859 писал(а):

2-ое ур-е мог бы на 2 и сократить, да. тогда нижний предел будет: $\arctg(\sqrt 2)$

То есть как это? Пределы интегрирования меняются при равносильном преобразовании условия? Впрочем, $\frac {2}{\sqrt2}$ и $\sqrt2$ это ровно одно и то же.

-- 22.01.2014, 17:15 --

Вы берете вариант сферических координат, в котором $z=\rho \cos\theta$? И какое значение $\theta$ соответствует северному полюсу?

[M<ath]

Да, этот вариант. Северному полюсу соответствует 0 градусов.

[svv]

Пределы по $\theta$ плохо вяжутся с условием $z\geqslant 0$.

[M<ath]

А там для конуса больше 0. Т.е. конус вырезает в верхней части сферы область. Нужен объём оставшегося тела.

[svv]

Вам не объем нужен, а поток.

Почему оставшегося? Вырезает — не обязательно чтобы это выбросить. Обычно это и есть нужная фигура. На это указывает и $z\geqslant 0$.
Я думаю, Ваша фигура — пересечение верхнего конуса с шаром.

[M<ath]

Мне нужна именно нижняя часть. Преподаватель говорил так. С ним рисунок делали. Да, поток сквозь оставшееся тело. Для того я хочу расставить пределы нахождения объёма и проинтегрировать дивергенцию, что и будет потоком по теореме Остроградского-Гаусса, так ведь?

[svv]

Только если Вы интегрируете дивергенцию векторного поля, Вы уже не объем находите, а что-то другое. Интегрируете по объему фигуры, берете объемный интеграл — да. Но не находите объем.

Коэффициенты $a_x, a_y, a_z$ постоянны?

[M<ath]

Да

[svv]

О, ну тогда Вас ожидает приятный сюрприз.

[M<ath]

Ну, мне в общем-то просто в общем виде найти. Поток может быть любым. Главное здесь - расставить пределы, а то, что в случае постоянных $a_x,a_y,a_z$ поток = 0 не имеет значения. Нас и не просят считать потоки, только расставлять пределы

[svv]

Тогда всё правильно.

Мелкие замечания:
1) Радиальная сферическая координата обозначается $r$, а не $\rho$.
2) $\sin\theta$ (скобки не нужны) можно вынести из внутреннего интеграла в средний (во внутреннем это константа).
3) Я бы для завершенности вида интеграла вписал в него $\operatorname{div}a$.
Дивергенция пишется так: $\operatorname{div}a$

M<ath в сообщении #817954 писал(а):

Т.е. конус вырезает в верхней части сферы область. Нужен объём оставшегося тела.

Под Вашу ответственность.