2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 14:19 
Тело:
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$
$2x^2+2y^2=4z^2; z \ge 0$
Поле:
$a=a_xi+a_yj+a_zk$
Необходимо лишь расставить пределы. Хотел использовать Теорему Остроградского-Гаусса. Расставил пределы по объёму в сферической системе: $$\int_{0}^{2\pi }  d\varphi\int_{\arctg(2/\sqrt 2) }^{\pi }  d\theta\int_{0}^{R} \rho^2 \sin(\theta)d\rho$$ ну и интегрирование соответственно по дивергенции. Сказали, что неправильно, кроме того, хотят решение 2 методами.

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 14:23 
А векторное поле что, в общем виде?

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 14:25 
Аватара пользователя
А почему второе уравнение не сократили на 2?
Что видно сразу, без подсчета. Почему вы дивергенцию в интеграл не вписали? И что такое $R$?

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 14:36 
$R$ - это радиус сферы. В данном случае = 1
дивергенцию не вписал, потому что не мог найти, как это в TeX'е будет :-(
да, векторное поле там в общем виде по заданию.
2-ое ур-е мог бы на 2 и сократить, да. тогда нижний предел будет: $\arctg(\sqrt 2)$

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 16:07 
Аватара пользователя
M<ath в сообщении #817859 писал(а):
2-ое ур-е мог бы на 2 и сократить, да. тогда нижний предел будет: $\arctg(\sqrt 2)$
То есть как это? Пределы интегрирования меняются при равносильном преобразовании условия? Впрочем, $\frac {2}{\sqrt2}$ и $\sqrt2$ это ровно одно и то же.

-- 22.01.2014, 17:15 --

Вы берете вариант сферических координат, в котором $z=\rho \cos\theta$? И какое значение $\theta$ соответствует северному полюсу?

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 16:43 
Да, этот вариант. Северному полюсу соответствует 0 градусов.

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 17:08 
Аватара пользователя
Пределы по $\theta$ плохо вяжутся с условием $z\geqslant 0$.

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 18:57 
А там для конуса больше 0. Т.е. конус вырезает в верхней части сферы область. Нужен объём оставшегося тела.

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 19:10 
Аватара пользователя
Вам не объем нужен, а поток.

Почему оставшегося? Вырезает — не обязательно чтобы это выбросить. Обычно это и есть нужная фигура. На это указывает и $z\geqslant 0$.
Я думаю, Ваша фигура — пересечение верхнего конуса с шаром.

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 19:15 
Мне нужна именно нижняя часть. Преподаватель говорил так. С ним рисунок делали. Да, поток сквозь оставшееся тело. Для того я хочу расставить пределы нахождения объёма и проинтегрировать дивергенцию, что и будет потоком по теореме Остроградского-Гаусса, так ведь?

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 19:46 
Аватара пользователя
Только если Вы интегрируете дивергенцию векторного поля, Вы уже не объем находите, а что-то другое. Интегрируете по объему фигуры, берете объемный интеграл — да. Но не находите объем.

Коэффициенты $a_x, a_y, a_z$ постоянны?

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 19:57 
Да

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 20:07 
Аватара пользователя
О, ну тогда Вас ожидает приятный сюрприз.

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 20:11 
Ну, мне в общем-то просто в общем виде найти. Поток может быть любым. Главное здесь - расставить пределы, а то, что в случае постоянных $a_x,a_y,a_z$ поток = 0 не имеет значения. Нас и не просят считать потоки, только расставлять пределы :-(

 
 
 
 Re: Поток векторного поля
Сообщение22.01.2014, 20:20 
Аватара пользователя
Тогда всё правильно.

Мелкие замечания:
1) Радиальная сферическая координата обозначается $r$, а не $\rho$.
2) $\sin\theta$ (скобки не нужны) можно вынести из внутреннего интеграла в средний (во внутреннем это константа).
3) Я бы для завершенности вида интеграла вписал в него $\operatorname{div}a$.
Дивергенция пишется так: $\operatorname{div}a$

M<ath в сообщении #817954 писал(а):
Т.е. конус вырезает в верхней части сферы область. Нужен объём оставшегося тела.
Под Вашу ответственность.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group