Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона

[Joker_vD]

ТС поступил умнее всех — поучив разъяснение по непонятному месту, ушел дальше читать учебник. Это потом уже кое-кому не понравилось, что для доказательства равенства нулю многочлена у него хитрым образом сосчитали коэффициенты, и предложил вместо этого найти у этого многочлена настолько большое множество нулей, которое бывает только у нулевого многочлена.

Xaositect
Плотно где и в какой метрике-топологии?

[patzer2097]

ewert в сообщении #817654 писал(а):

А я тоже не понял: чего, собссно, д-во?...

гладкости решения уравнения Навье-Стокса, разве мы о чем-то еще тут говорили? Над "рациональным кольцом"...

[ewert]

Xaositect в сообщении #817657 писал(а):

Множество матриц, на которых какой-то многочлен не равен нулю - плотно.

Ну и с какой стати оно плотно?... -- это уже посторонняя (ну или потусторонняя, как угодно) теория.

-- Вт янв 21, 2014 23:32:07 --

(Оффтоп)

patzer2097 в сообщении #817661 писал(а):

Над "рациональным кольцом"...

Ну Вы ж наверняка поняли, что имелось в виду; ну не надо уж так-то.

[Xaositect]

ewert в сообщении #817654 писал(а):

А я тоже не понял: чего, собссно, д-во?...

Я понял только одно: что мы все тут уже пошли вразнос, безотносительно к ТС.

А почему бы и не поговорить безотносительно ТС.

Доказательство, например, такое:
1. Каждый элемент $\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}$ является многочленом от элементов исходной матрицы.
2. Для матрицы, имеющей $n$ собственных значений над $\mathbb{C}$ матрицы все очевидно, так как она диагонализуема. Т.е. на множестве таких матриц вышеуказанные многочлены равны $0$.
3. Множество матриц с полным набором СЗ открыто (так как это дополнение к замкнутому множеству корней дискриминанта характеристического многочлена) и непусто.
4. Следовательно, элементы $\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}$ тождественно равно $0$, так как равны $0$ на открытом множестве.

-- Вт янв 21, 2014 23:39:12 --

Joker_vD в сообщении #817660 писал(а):

Xaositect
Плотно где и в какой метрике-топологии?

В топологии Зариского (по определению). Над $\mathbb{C}$ - и в обычной топологии тоже.

[ewert]

Xaositect в сообщении #817664 писал(а):

(так как это дополнение к замкнутому множеству корней дискриминанта характеристического многочлена)

Всё, провал. Откуда и что известно про множество корней?...

[Xaositect]

ewert в сообщении #817665 писал(а):

Всё, провал. Откуда и что известно про множество корней?...

Множество корней какого-то многочлена от $n$ переменных замкнуто в обычной топологии $\mathbb{C}^n$. Это элементарный матанализ. Многочлены непрерывны.

[ewert]

Xaositect в сообщении #817668 писал(а):

Множество корней какого-то многочлена от $n$ переменных замкнуто в обычной топологии $\mathbb{C}^n$

Может, и замкнуто. Но, во-первых, это уже какая-то потусторонняя теория. А во-вторых: при чём тут меры-то?... (это уже теория совсем следующая)

[Joker_vD]

Ну и зачем здесь открытость и топология вообще?

Берем элемент из $\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}$, берем $\Delta(\det(X - \lambda I))$, перемножаем, получаем многочлен, который обращается в ноль при подстановке любой матрицы: если матрица имела все простые с.з., то первый сомножитель обратится в ноль, если у матрицы были кратные с.з. — второй сомножитель обратится в ноль. Если многочлен обращается в ноль вообще всюду, и базовое поле у нас бесконечно, то это был нулевой многочлен — кольцо многочленов над полем целостно — второй сомножитель точно не ноль — всякий элемент вон той матрицы равен нулю.

И что, это в развернутом виде будет короче, чем оригинальное доказательство?

[patzer2097]

Joker_vD в сообщении #817704 писал(а):

Берем элемент из $\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}$

непонятно, что такое элемент, ведь $\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}$ - это $0$ (число, а не нулевая матрица)

Joker_vD в сообщении #817704 писал(а):

берем $\Delta(\det(X - \lambda I))$

а что это - $\Delta$? Здесь и дальше, честно говоря, даже непонятно, что имелось в виду.

[Joker_vD]

$\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}\equiv f_X(X)$

patzer2097 в сообщении #817710 писал(а):

а что это - $\Delta$?

Дискриминант, как и предлагал Xaositect.

[patzer2097]

а, дискриминант.. (видимо, по переменной $\lambda$.) Но это уже не так тривиально.. но и тогда непонятно:

Joker_vD в сообщении #817704 писал(а):

берем $\Delta(\det(X - \lambda I))$, перемножаем, получаем многочлен, который обращается в ноль при подстановке любой матрицы: если матрица имела все простые с.з., то первый сомножитель обратится в ноль, если у матрицы были кратные с.з. — второй сомножитель обратится в ноль

что за "сомножители" имеются в виду? и потом, если у матрицы только простые СЗ, то дискриминант в ноль не обратится..

[Joker_vD]

Сомножители имеются в виду элемент матрицы из $f_X(X)$ и $\Delta$, разумеется. Если у матрицы только простые с.з., то в ноль обращается $f_X(X)$, что "легко доказывается". Если есть кратные корни, то в ноль будет обращаться $\Delta$. Т.о. мы имеем, что произведение двух многочленов всюду принимает нулевые значения, значит, это произведение — нулевой многочлен, а это возможно лишь если взятый элемент $f_X(X)$ был нулевым многочленом, т.к. $\Delta$ точно нулевым многочленом не является.

Вы помните, как хотели использовать топологические свойства? "Открытое всюду плотное множество матриц"... ну вот вам топология, где замкнутыми множествами называются множества вида $\{a|f\text{ --- a polynomial, } f(a)=0\}$ — там все открытые множества автоматом всюду плотны, множество диагонализируемых матриц как раз открыто... теперь выкидываем всю топологическую шелуху.

[patzer2097]

(Joker_vD)

Joker_vD в сообщении #817740 писал(а):

Сомножители имеются в виду элемент матрицы из $f_X(X)$ и $\Delta$, разумеется. Если у матрицы только простые с.з., то в ноль обращается $f_X(X)$, что "легко доказывается". Если есть кратные корни, то в ноль будет обращаться $\Delta$. Т.о. мы имеем, что произведение двух многочленов всюду принимает нулевые значения, значит, это произведение — нулевой многочлен, а это возможно лишь если взятый элемент $f_X(X)$ был нулевым многочленом, т.к. $\Delta$ точно нулевым многочленом не является.

Да, теперь я понял Вас.

Joker_vD в сообщении #817740 писал(а):

Вы помните, как хотели использовать топологические свойства? "Открытое всюду плотное множество матриц"... ну вот вам топология, где замкнутыми множествами называются множества вида $\{a|f\text{ --- a polynomial, } f(a)=0\}$

я вообще в этой теме про топологию Зарисского ничего не писал.. Я вот какое доказательство могу предложить, еще раз..

(1) если у характеристического многочлена $f_A$ матрицы $A$ все корни разные, то она диагонализуема, и тогда $f_A(A)=0$.
(2) если комплексный многочлен обращается в нуль на каком-то открытом множестве, то он - тождественный нуль.
(3) вся окрестность комплексной диагональной матрицы $\operatorname{diag}(1,\ldots,n)$ удовлетворяет (1), поэтому для $X=(x_{ij})$ матрица $f_X(X)$ тождественно нулевая в силу (2).

[Joker_vD]

patzer2097 в сообщении #817933 писал(а):

(2) если комплексный многочлен обращается в нуль на каком-то открытом множестве, то он - тождественный нуль.

Еще раз — это нетривиальный результат для комплексной топологии. Для топологии Зарисского — это почти мгновенное следствие из теоремы Безу о корнях, потому что там, честно говоря, "на открытом множестве" означает "почти всюду" / "во всем пространстве за исключением множества точек меньшей размерности".

[patzer2097]

Joker_vD в сообщении #818118 писал(а):

Еще раз — это нетривиальный результат для комплексной топологии.

да что Вы.. можно доказать так: ненулевые многочлены одной переменной могут иметь только конечное число нулей; а если многочлен $\sum_k f_k x_n^k$, где $f_k\in\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_{n-1}]$, тождественно нулевой на открытом множестве, тогда все $f_k$ тождественно нулевые на этом множестве, дальше по индукции.

(Оффтоп)

Кстати, все еще тривиальнее, если ограничиться вещественными многочленами (а мое доказательство это позволяет) - там все следует из совпадения обычного и формального дифференцирования.
В смысле, тоже самое верно и в комплексном случае, но понятие комплексной производной привлекать, конечно, не хочется.