Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона

[patzer2097]

ewert в сообщении #817489 писал(а):

а откуда она (ЖНФ) есть?

что значит "откуда"? ну доказывается она (правда тремя строками текста там не обойтись), и это стандартный результат линейной алгебры и получается без использования теоремы Гамильтона-Кэли.

[apriv]

ewert в сообщении #817448 писал(а):

Теорема Гамильтона-Кэли нужна и всегда будет нужна гораздо большему кругу лиц, чем алгебраическая геометрия.

Это очень сомнительное утверждение.

Цитата:

Которой она ни разу не требует.

Что чего требует — это вопрос неоднозначный. В любом случае, гораздо полезнее иметь концептуальное доказательство теоремы Гамильтона—Кэли, чем вычислительное, которое элементарно, но ничего не объясняет.

[ewert]

apriv в сообщении #817495 писал(а):

гораздо полезнее иметь концептуальное доказательство теоремы Гамильтона—Кэли, чем вычислительное, которое элементарно, но ничего не объясняет.

Ага. И докажете Вы её курсу так к седьмому-восьмому, когда будет уже, откровенно говоря, поздно. Потому что чудес не бывает: на концептуальщину Вы угробите годы жизни студентов, которым она и даром не сдалась, зато нужно что-то другое.

patzer2097 в сообщении #817494 писал(а):

и это стандартный результат линейной алгебры и получается без использования теоремы Гамильтона-Кэли.

Она может быть получена без этой теоремы; тем не менее:

1) в любом учебнике (с точностью до множества меры ноль) ТГК идёт всё-таки до ЖНФ;

2) и независимо от этого -- ТГК много элементарнее, чем ЖНФ.

[Joker_vD]

Ну так и я то же говорю — нормальное доказательство, что полстраницы ушло на переход от $M_n(K[t])$ к $M_n(K)[t]$ — ничего страшного.

[patzer2097]

ewert в сообщении #817506 писал(а):

1) в любом учебнике (с точностью до множества меры ноль) ТГК идёт всё-таки до ЖНФ;

то есть особый смысл ТГК в том, что в некоторых учебниках она почему-то стоит перед ЖНФ?

ewert в сообщении #817506 писал(а):

2) и независимо от этого -- ТГК много элементарнее, чем ЖНФ.

это несомненно. вот я и предложил

(элементарное доказательство)

если $f_A(A)\neq0$ для какой-то матрицы $A$ над каким-то коммутативным кольцом, то многочлен $f_X(X)$ от элементов матрицы $X=(x_{ij})$ не равен тождественно нулю. А тогда $f_X(X)\neq0$ на открытом множестве комплексных матриц, противоречие.

А то, что предлагает ТС, тяжело понять дальше первой строчки, несмотря на всю "элементарность".

[apriv]

ewert в сообщении #817506 писал(а):

Ага. И докажете Вы её курсу так к седьмому-восьмому, когда будет уже, откровенно говоря, поздно. Потому что чудес не бывает: на концептуальщину Вы угробите годы жизни студентов, которым она и даром не сдалась, зато нужно что-то другое.

Концептуальное объяснение упрощает изложение, а не усложняет его. Что нужно студентам (и каким именно студентам) — это отдельный разговор. Основы алгебраической геометрии, которых достаточно для доказательства теоремы Гамильтона—Кэли, излагаются, например, у нас на факультете на втором курсе, как правило.

[ewert]

patzer2097 в сообщении #817520 писал(а):

вот я и предложил

, а я ничего не понял. Начиная с того, что сперва у Вас там какое-то кольцо, а потом вдруг зачем-то что-то комплексное.

patzer2097 в сообщении #817520 писал(а):

А то, что предлагает ТС, тяжело понять дальше первой строчки, несмотря на всю "элементарность".

Очень легко понять: там тупо разложение определителя то ли по строкам, то ли по столбцам, а это есть вещь самоценная. Другое дело, что у Фаддеева (это был Фаддеев, а не Гантмахер) там небольшой логический дефект: для конечных полей переход от равенства многочленов к равенству коэффициентов не обоснован. У Гантмахера всё это оформлено вроде бы аккуратнее.

-- Вт янв 21, 2014 19:41:56 --

apriv в сообщении #817522 писал(а):

Основы алгебраической геометрии, которых достаточно для доказательства теоремы Гамильтона—Кэли, излагаются, например, у нас на факультете на втором курсе, как правило.

У вас -- вполне возможно. Однако ТГК нужна далеко не только вам. Между тем концептуалов много, а жизнь одна.

[patzer2097]

ewert в сообщении #817527 писал(а):

Очень легко понять

там в строчках 9-10 доказательства скрыт ("по свойству взаимной матрицы...") довольно нетривиальный переход, даже если ограничиться полями характеристики $0$.

ewert в сообщении #817527 писал(а):

, а я ничего не понял. Начиная с того, что сперва у Вас там какое-то кольцо, а потом вдруг зачем-то что-то комплексное.

А что не так? Ну $f_X(X)$ - это какой многочлен от элементов матрицы $X$. Если он - тождественный нуль, то все доказано (над любым коммутативным кольцом). А если нет - то он не равен $0$ на почти всех комплексных матрицах $X$, противоречие.

[apriv]

ewert в сообщении #817527 писал(а):

У вас -- вполне возможно. Однако ТГК нужна далеко не только вам. Между тем концептуалов много, а жизнь одна.

«У нас» обучают не чистых математиков, а прикладников (программистов и т. п.). Вообще, сравнивать большую теорию (алгебраическую геометрию) с одним конкретным фактом (теоремой Кэли—Гамильтона) несколько странно. Полезность алгебраической геометрии, ее идей и методов для прикладных математиков достаточно очевидна. Полезность вычислительного доказательства теоремы Кэли—Гамильтона, сводящегося к трюку, лично мне не очевидна. Уж лучше тогда вообще не давать доказательства, ничего страшного в этом нет.

[ewert]

patzer2097 в сообщении #817532 писал(а):

Ну $f_X(X)$ - это какой многочлен от элементов матрицы $X$.

Ну вот уже это, собственно, и невозможно понять: какой смысл мог бы иметь нижний Икс?...

patzer2097 в сообщении #817532 писал(а):

там в строчках 9-10 доказательства скрыт ("по свойству взаимной матрицы...") довольно нетривиальный переход,

тривиальный-не тривиальный, а общеизвестный (уж к этому-то месту всяко, обратная матрица ведь уже была):

ewert в сообщении #817527 писал(а):

там тупо разложение определителя то ли по строкам, то ли по столбцам

[patzer2097]

(ewert)

ewert в сообщении #817540 писал(а):

patzer2097 в сообщении #817532 писал(а):

там в строчках 9-10 доказательства скрыт ("по свойству взаимной матрицы...") довольно нетривиальный переход,

тривиальный-не тривиальный, а общеизвестный (уж к этому-то месту всяко, обратная матрица ведь уже была):

ewert в сообщении #817527 писал(а):

там тупо разложение определителя то ли по строкам, то ли по столбцам

да, тут я согласен. тем не менее, это элементарное доказательство я бы не называл простым..

ewert в сообщении #817540 писал(а):

Ну вот уже это, собственно, и невозможно понять: какой смысл мог бы иметь нижний Икс?..

через $f_X(t)$ я характеристический многочлен матрицы $X$ всюду в этой теме обозначаю.

[ewert]

patzer2097 в сообщении #817543 писал(а):

через $f_X(t)$ я характеристический многочлен матрицы $X$ всюду в этой теме обозначаю.

Ну допустим. Я всё равно не понимаю. Допустим, Вы ссылаетесь на плотность диагонализуемых матриц в пространстве комплексных -- что, разумеется, есть факт. Но: откуда Вы этот факт берёте?... По-моему, сей факт очевиден только для тех, для кого он очевиден. Т.е., собственно, для знающих про ЖНФ. Ну так тем товарищам он и не нужен.

Впрочем, мы уклонились куда-то далеко-далеко от ТС, а он так и вовсе слинял в туман...

[patzer2097]

ewert в сообщении #817621 писал(а):

Допустим, Вы ссылаетесь на плотность диагонализуемых матриц в пространстве комплексных

не ссылаюсь я на это. я говорю, что если $f_X(X)$ - не тождественный ноль, то $f_X(X)\neq0$ почти всегда. А в окрестности диагональной матрицы $\operatorname{diag}(1,\ldots,n)$ характеристический многочлен не имеет кратных корней, и потому в этой окрестности $f_X(X)=0$, противоречие.

[ewert]

patzer2097 в сообщении #817624 писал(а):

то $f_X(X)\neq0$ почти всегда.

А это ещё хуже. Поди их ещё определи, эти меры. Т.е. интуитивно-то всё очевидно, разумеется; но интуиция -- не аргумент.

[Joker_vD]

Так, еще раз и для совсем тупого можно? Вот я вычислил огромный определитель $\chi_X(t)=|tE-X|$ — это многочлен из $F[x_{11},\dots,x_{nn}][t]$. Теперь я вычисляю его значение в элементе из $M_n(F[x_{11},\dots,x_{nn}])$ — у меня получается элемент $M_n(F[x_{11},\dots,x_{nn}])$, матрица из многочленов от кучи переменных, возможно — нулевая, возможно — нет. Что мне с ней дальше делать?