Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона

[shukshin]

Добрый вечер, уважаемые участники форума! Помогите разобраться.
Совсем не очевидно почему союзную матрицу можно так представить и что это за представление.

[AV_77]

$\begin{pmatrix} a_0 + a_1x + a_2x^2 & b_0 + b_1x + b_2x^2 \\ c_0 + c_1x + c_2x^2 & d_0 + d_1x + d_2x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_0 & b_0 \\ c_0 & d_0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix}x + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix}x^2$

[Joker_vD]

(Оффтоп)

AV_77
Степень там не слишком большая? Впрочем, не суть.

[shukshin]

AV_77, то что нужно

[AV_77]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #817168 писал(а):

Степень там не слишком большая? Впрочем, не суть.

Вы про мой пример? Так это просто для демонстрации.

[patzer2097]

shukshin в сообщении #817161 писал(а):

Совсем не очевидно почему союзную матрицу можно так представить и что это за представление.

а хотите доказательство попроще и интереснее?
Пусть $A$ - матрица порядка $n$ над полем $\mathbb{F}$ и $f_A$ - ее характеристический многочлен. Если $A$ диагональна, утверждение теоремы легко проверяется непосредственно.
Далее рассматриваем матрицу $X=(x_{ij})$ над кольцом многочленов $\mathbb{F}[x_{11},\ldots,x_{nn}]$. Поскольку у $f_X$ нет кратных корней, матрица $X$ диагонализуема и $f_X(X)=0$. Иными словами, $f_X(X)=0$ является тождеством в $\mathbb{F}$.

[Xaositect]

patzer2097 в сообщении #817178 писал(а):

Поскольку у $f_X$ нет кратных корней, матрица $X$ диагонализуема

Тут не хватит $\mathbb{F}[x_{11},\dots,x_{nn}]$, рассматривать надо над $\overline{\mathbb{F}(x_{11},\dots,x_{nn})}$.

Из той же оперы - утверждение верно для диагональных матриц, следовательно, верно для диагонализуемых, следовательно, верно для всех, так как замыкание множества диагонализуемых матриц --- все пространство матриц.

[patzer2097]

Xaositect в сообщении #817323 писал(а):

Тут не хватит $\mathbb{F}[x_{11},\dots,x_{nn}]$, рассматривать надо над $\overline{\mathbb{F}(x_{11},\dots,x_{nn})}$.

ну что значит "не хватит"? Доказательство в таком виде как я привел - верное же..
А то, что диагонализуема над некоторым большим полем - это подразумевается, конечно.. Кстати, "рассматривать над $\overline{\mathbb{F}(x_{11},\dots,x_{nn})}$" не надо ни в каком смысле - достаточно поля разложения $\mathbb{F}$ по $f_X$

Xaositect в сообщении #817323 писал(а):

Из той же оперы - утверждение верно для диагональных матриц, следовательно, верно для диагонализуемых, следовательно, верно для всех, так как замыкание множества диагонализуемых матриц --- все пространство матриц.

мне непонятно, что такое замыкание в произвольном поле. хотя в случае матриц над $\mathbb{R}$ такой подход, конечно, упрощает дело

[ewert]

Xaositect в сообщении #817323 писал(а):

замыкание множества диагонализуемых матриц --- все пространство матриц.

patzer2097 в сообщении #817394 писал(а):

хотя в случае матриц над $\mathbb{R}$ такой подход, конечно, упрощает дело

В каком смысле "замыкание множества"?

[Joker_vD]

Мммм... я сейчас плохо соображаю, но не все же матрицы диагонализируемы? Взять хоть $\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)$ — у нее характеристический многочлен имеет кратный корень хоть над каким полем.

[mihailm]

В операторном смысле, если можно так сказать, замыкание

[ewert]

Joker_vD в сообщении #817401 писал(а):

— у нее характеристический многочлен имеет кратный корень хоть над каким полем.

Да, но она является предельной точкой множества диагонализуемых матриц, если над вещественым полем. Между тем есть и такие, что не являются (в смысле обычной топологии). Потому я и спросил, в каком смысле "замыкание".

[patzer2097]

ewert в сообщении #817398 писал(а):

Xaositect в сообщении #817323 писал(а):

замыкание множества диагонализуемых матриц --- все пространство матриц.

В каком смысле "замыкание множества"?

множество всех его предельных точек в стандартной евклидовой топологии

Joker_vD в сообщении #817401 писал(а):

Мммм... я сейчас плохо соображаю, но не все же матрицы диагонализируемы?

конечно, не все

[apriv]

ewert в сообщении #817398 писал(а):

В каком смысле "замыкание множества"?

В смысле алгебраической геометрии, конечно (то есть, в топологии Зариского), только не множество диагонализуемых матриц, а множество матриц, диагонализуемых после какой-то замены базы.

[ewert]

patzer2097 в сообщении #817406 писал(а):

множество всех его предельных точек в стандартной евклидовой топологии

Тогда множество диагонализуемых матриц не плотно. Очевидно.

-- Вт янв 21, 2014 16:34:47 --

apriv в сообщении #817408 писал(а):

В смысле алгебраической геометрии, конечно (то есть, в топологии Зариского), только не множество диагонализуемых матриц, а множество матриц, диагонализуемых после какой-то замены базы.

Тогда проще по Гантмахеру.