Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона

[g______d]

ewert в сообщении #817625 писал(а):

А это ещё хуже. Поди их ещё определи, эти меры.

Иногда "почти всегда" означает "на открытом плотном множестве".

[patzer2097]

ewert в сообщении #817625 писал(а):

patzer2097 в сообщении #817624 писал(а):

то $f_X(X)\neq0$ почти всегда.

А это ещё хуже. Поди их ещё определи, эти меры.

OK, "почти всегда" заменим на "на всюду плотном подмножестве", если мы хотим, чтобы доказательство было понятно даже школьнику 10 класса тем, кто посетил хотя бы пару лекций по матанализу

[Xaositect]

ewert в сообщении #817621 писал(а):

Ну допустим. Я всё равно не понимаю. Допустим, Вы ссылаетесь на плотность диагонализуемых матриц в пространстве комплексных -- что, разумеется, есть факт. Но: откуда Вы этот факт берёте?... По-моему, сей факт очевиден только для тех, для кого он очевиден. Т.е., собственно, для знающих про ЖНФ. Ну так тем товарищам он и не нужен.

Этот факт как раз очевиден, потому как малым шевелением правого верхнего и левого нижнего угла матрицы можно корни характеристического многочлена сделать различными.
UPD. Или с алгеброй - многочлен имеет кратные корни титтк его дискриминант равен нулю, дискриминант характеристического многочлена - многочлен от элементов матрицы.

[patzer2097]

Joker_vD в сообщении #817629 писал(а):

Вот я вычислил огромный определитель $\chi_X(t)=|tE-X|$ — это многочлен из $F[x_{11},\dots,x_{nn}][t]$.

Я вычисляю сразу значение $\chi_X(X)$ - это матрица, ее элементы - многочлены из $\mathbb{Z}[x_{11},\dots,x_{nn}]$ (обратите внимание, что коэффициенты целочисленны). Если эти многочлены - тождественные нули, то теорема доказана (над любым коммутативным кольцом). Если же нет, то матрица $\chi_M(M)$ ненулевая на некотором всюду плотном подмножестве комплексных матриц $M$. В то же время матрицы из окрестности $\operatorname{diag}(1,\ldots,n)$ диагонализуемы, противоречие.

[ewert]

Xaositect в сообщении #817637 писал(а):

Этот факт как раз очевиден, потому как малым шевелением правого верхнего и левого нижнего угла матрицы можно корни характеристического многочлена сделать различными.

А откуда это следует?... Это как минимум не очевидно. Как минимум в этом придётся поковыряться. Ну так лучше уж ковыряться тупо в определителях, без привлечения совсем посторонней теории.

[Joker_vD]

Цитата:

Если же нет, то матрица $\chi_M(M)$ ненулевая на некотором всюду плотном подмножестве комплексных матриц $M$.

Матрица либо ноль, либо не ноль, что вы с ней делаете такое страшное-то что она "где-то" ноль, а "где-то" нет? Превращаете ее в элемент $M_n(\mathbb Z)[x_{11},\dots,x_{nn}]$ и подставляете в нее коэффициенты других матриц?

[Xaositect]

ewert в сообщении #817640 писал(а):

А откуда это следует?... Это как минимум не очевидно. Как минимум в этом придётся поковыряться. Ну так лучше уж ковыряться тупо в определителях, без привлечения совсем посторонней теории.

Я там написал более простой способ:

Xaositect в сообщении #817637 писал(а):

UPD. Или с алгеброй - многочлен имеет кратные корни титтк его дискриминант равен нулю, дискриминант характеристического многочлена - многочлен от элементов матрицы.

[patzer2097]

Joker_vD в сообщении #817642 писал(а):

Матрица либо ноль, либо не ноль, что вы с ней делаете такое страшное-то что она "где-то" ноль, а "где-то" нет?

Если матрица $\chi_X(X)$ - не тождественный нуль, то какой-то ее элемент $f(X):=[\chi_X(X)]_{ij}$ не является тождественно нулевым многочленом. А тогда $f(X)$ не обращается в нуль на плотном подмножестве комплексных матриц.

[ewert]

Xaositect в сообщении #817643 писал(а):

Я там написал более простой способ:

Xaositect в сообщении #817637 писал(а):

UPD. Или с алгеброй - многочлен имеет кратные корни титтк его дискриминант равен нулю, дискриминант характеристического многочлена - многочлен от элементов матрицы.

Ну многочлен; ну и шо? -- по-прежнему решительно не понимаю.

Робяты, вы явно пытаетесь объехать этот момент на кривой козе. А вот не выйдет. Чудес не бывает -- тем или иным способом попыхтеть всё-таки придётся.

[Joker_vD]

patzer2097
То есть ваше доказательство для матриц над $\mathbb F_q$ или там $\mathbb Q_p$ бесполезно?

[patzer2097]

Joker_vD в сообщении #817648 писал(а):

То есть ваше доказательство для матриц над $\mathbb F_q$ или там $\mathbb Q[x,y]$ бесполезно?

мое доказательство - для матриц над любым коммутативным кольцом
Ведь если $\chi_X(X)$ - тождественный нуль, то он нуль для матриц над любым кольцом. А если нет - получаем противоречие с помощью комплексного случая, как описано выше.

[ewert]

patzer2097 в сообщении #817649 писал(а):

мое доказательство - для матриц над любым коммутативным кольцом

а это невозможно: даже и рациональное кольцо -- оно в некотором смысле как бы коммутативно.

[patzer2097]

ewert в сообщении #817651 писал(а):

patzer2097 в сообщении #817649 писал(а):

мое доказательство - для матриц над любым коммутативным кольцом

а это невозможно: даже и рациональное кольцо -- оно в некотором смысле как бы коммутативно.

извините, я не понял, (1) что именно невозможно, (2) что такое рациональное кольцо, (3) в каком смысле оно коммутативно, (4) что Вы имели в виду.

[ewert]

patzer2097 в сообщении #817653 писал(а):

извините, я не понял, (1)

А я тоже не понял: чего, собссно, д-во?...

Я понял только одно: что мы все тут уже пошли вразнос, безотносительно к ТС.

[Xaositect]

ewert в сообщении #817646 писал(а):

Ну многочлен; ну и шо? -- по-прежнему решительно не понимаю.

Множество матриц, на которых какой-то многочлен не равен нулю - плотно.