2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 21:49 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #817625 писал(а):
А это ещё хуже. Поди их ещё определи, эти меры.


Иногда "почти всегда" означает "на открытом плотном множестве".

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 21:50 
ewert в сообщении #817625 писал(а):
patzer2097 в сообщении #817624 писал(а):
то $f_X(X)\neq0$ почти всегда.

А это ещё хуже. Поди их ещё определи, эти меры.
:evil: OK, "почти всегда" заменим на "на всюду плотном подмножестве", если мы хотим, чтобы доказательство было понятно даже школьнику 10 класса тем, кто посетил хотя бы пару лекций по матанализу :-)

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 21:53 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #817621 писал(а):
Ну допустим. Я всё равно не понимаю. Допустим, Вы ссылаетесь на плотность диагонализуемых матриц в пространстве комплексных -- что, разумеется, есть факт. Но: откуда Вы этот факт берёте?... По-моему, сей факт очевиден только для тех, для кого он очевиден. Т.е., собственно, для знающих про ЖНФ. Ну так тем товарищам он и не нужен.
Этот факт как раз очевиден, потому как малым шевелением правого верхнего и левого нижнего угла матрицы можно корни характеристического многочлена сделать различными.
UPD. Или с алгеброй - многочлен имеет кратные корни титтк его дискриминант равен нулю, дискриминант характеристического многочлена - многочлен от элементов матрицы.

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 21:59 
Joker_vD в сообщении #817629 писал(а):
Вот я вычислил огромный определитель $\chi_X(t)=|tE-X|$ — это многочлен из $F[x_{11},\dots,x_{nn}][t]$.
Я вычисляю сразу значение $\chi_X(X)$ - это матрица, ее элементы - многочлены из $\mathbb{Z}[x_{11},\dots,x_{nn}]$ (обратите внимание, что коэффициенты целочисленны). Если эти многочлены - тождественные нули, то теорема доказана (над любым коммутативным кольцом). Если же нет, то матрица $\chi_M(M)$ ненулевая на некотором всюду плотном подмножестве комплексных матриц $M$. В то же время матрицы из окрестности $\operatorname{diag}(1,\ldots,n)$ диагонализуемы, противоречие.

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 21:59 
Xaositect в сообщении #817637 писал(а):
Этот факт как раз очевиден, потому как малым шевелением правого верхнего и левого нижнего угла матрицы можно корни характеристического многочлена сделать различными.

А откуда это следует?... Это как минимум не очевидно. Как минимум в этом придётся поковыряться. Ну так лучше уж ковыряться тупо в определителях, без привлечения совсем посторонней теории.

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:01 
Цитата:
Если же нет, то матрица $\chi_M(M)$ ненулевая на некотором всюду плотном подмножестве комплексных матриц $M$.

Матрица либо ноль, либо не ноль, что вы с ней делаете такое страшное-то что она "где-то" ноль, а "где-то" нет? Превращаете ее в элемент $M_n(\mathbb Z)[x_{11},\dots,x_{nn}]$ и подставляете в нее коэффициенты других матриц?

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:03 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #817640 писал(а):
А откуда это следует?... Это как минимум не очевидно. Как минимум в этом придётся поковыряться. Ну так лучше уж ковыряться тупо в определителях, без привлечения совсем посторонней теории.
Я там написал более простой способ:
Xaositect в сообщении #817637 писал(а):
UPD. Или с алгеброй - многочлен имеет кратные корни титтк его дискриминант равен нулю, дискриминант характеристического многочлена - многочлен от элементов матрицы.

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:08 
Joker_vD в сообщении #817642 писал(а):
Матрица либо ноль, либо не ноль, что вы с ней делаете такое страшное-то что она "где-то" ноль, а "где-то" нет?
Если матрица $\chi_X(X)$ - не тождественный нуль, то какой-то ее элемент $f(X):=[\chi_X(X)]_{ij}$ не является тождественно нулевым многочленом. А тогда $f(X)$ не обращается в нуль на плотном подмножестве комплексных матриц.

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:09 
Xaositect в сообщении #817643 писал(а):
Я там написал более простой способ:
Xaositect в сообщении #817637 писал(а):
UPD. Или с алгеброй - многочлен имеет кратные корни титтк его дискриминант равен нулю, дискриминант характеристического многочлена - многочлен от элементов матрицы.

Ну многочлен; ну и шо? -- по-прежнему решительно не понимаю.

Робяты, вы явно пытаетесь объехать этот момент на кривой козе. А вот не выйдет. Чудес не бывает -- тем или иным способом попыхтеть всё-таки придётся.

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:13 
patzer2097
То есть ваше доказательство для матриц над $\mathbb F_q$ или там $\mathbb Q_p$ бесполезно?

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:15 
Joker_vD в сообщении #817648 писал(а):
То есть ваше доказательство для матриц над $\mathbb F_q$ или там $\mathbb Q[x,y]$ бесполезно?
мое доказательство - для матриц над любым коммутативным кольцом :-)
Ведь если $\chi_X(X)$ - тождественный нуль, то он нуль для матриц над любым кольцом. А если нет - получаем противоречие с помощью комплексного случая, как описано выше.

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:17 
patzer2097 в сообщении #817649 писал(а):
мое доказательство - для матриц над любым коммутативным кольцом :-)

а это невозможно: даже и рациональное кольцо -- оно в некотором смысле как бы коммутативно.

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:19 
ewert в сообщении #817651 писал(а):
patzer2097 в сообщении #817649 писал(а):
мое доказательство - для матриц над любым коммутативным кольцом :-)

а это невозможно: даже и рациональное кольцо -- оно в некотором смысле как бы коммутативно.
извините, я не понял, (1) что именно невозможно, (2) что такое рациональное кольцо, (3) в каком смысле оно коммутативно, (4) что Вы имели в виду.

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:23 
patzer2097 в сообщении #817653 писал(а):
извините, я не понял, (1)

А я тоже не понял: чего, собссно, д-во?...

Я понял только одно: что мы все тут уже пошли вразнос, безотносительно к ТС.

 
 
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:26 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #817646 писал(а):
Ну многочлен; ну и шо? -- по-прежнему решительно не понимаю.
Множество матриц, на которых какой-то многочлен не равен нулю - плотно.

 
 
 [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group