Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона

[patzer2097]

ewert в сообщении #817412 писал(а):

Тогда множество диагонализуемых матриц не плотно. Очевидно.

да что Вы а почему?

[ewert]

patzer2097 в сообщении #817415 писал(а):

да что Вы а почему?

Вы же говорили про $\mathbb R$. Ну так множество диагонализуемых матриц в пространстве вещественных матриц не плотно. Просто потому, что спектр у них может быть и комплексным, а тогда он устойчив по отношению к малым возмущениям.

[patzer2097]

ewert в сообщении #817417 писал(а):

Просто потому, что спектр у них может быть и комплексным, а тогда он устойчив по отношению к малым возмущениям.

я имел в виду, конечно, диагонализуемость в каком-то расширении поля. Теорема Гамильтона-Кэли одинаково легко проверяется для диагональных матриц над любым полем

[Joker_vD]

...почему уж тогда сразу не проверить ее для жордановых матриц?

[ewert]

Joker_vD в сообщении #817422 писал(а):

...почему уж тогда сразу не проверить ее для жордановых матриц?

А откуда взять жордановость?

[Joker_vD]

Ну мы же можем основное поле немножко расширить?

[patzer2097]

Joker_vD в сообщении #817422 писал(а):

...почему уж тогда сразу не проверить ее для жордановых матриц?

Вы правы, после того как доказано существование ЖНФ, теорема Гамильтона-Кэли получается бесплатно
Я просто хотел сказать, что в наше время довольно странно выглядят сугубо технические доказательства теоремы Гамильтона-Кэли длиной в страницу, как у ТС, да еще и со ссылками на какие-то нетривиальные результаты. Хотя, может, лет $50$ назад в них и был какой-то смысл...

[Joker_vD]

patzer2097
В этом доказательстве наоборот, нету ничего нетривиального: не нужна ни спектральная теория, ни умение расширять поля. И всего одна страничка.

-- Вт янв 21, 2014 17:23:21 --

Хотя "доказательство" $\chi_A(A)=\det(\lambda E-A)|_{\lambda=A}=\det(AE-A)=\det 0=0$ мне всегда нравилось больше всего

[nnosipov]

patzer2097 в сообщении #817178 писал(а):

Поскольку у $f_X$ нет кратных корней

А почему это очевидно?

[apriv]

ewert в сообщении #817412 писал(а):

apriv в сообщении #817408 писал(а):

В смысле алгебраической геометрии, конечно (то есть, в топологии Зариского), только не множество диагонализуемых матриц, а множество матриц, диагонализуемых после какой-то замены базы.

Тогда проще по Гантмахеру.

Это смотря что значит «проще». Соображение о плотности по Зарискому совершенно естественно в контексте алгебраической геометрии, это стандартный метод.

[ewert]

apriv в сообщении #817438 писал(а):

Соображение о плотности по Зарискому совершенно естественно в контексте алгебраической геометрии, это стандартный метод.

patzer2097 в сообщении #817432 писал(а):

Хотя, может, лет $50$ назад в них и был какой-то смысл...

Это и через 50 тысяч лет будет иметь ровно тот же смысл. Теорема Гамильтона-Кэли нужна и всегда будет нужна гораздо большему кругу лиц, чем алгебраическая геометрия. Которой она ни разу не требует.

[patzer2097]

nnosipov в сообщении #817436 писал(а):

patzer2097 в сообщении #817178 писал(а):

Поскольку у $f_X$ нет кратных корней

А почему это очевидно?

утверждение интуитивно очевидно, но как быстро доказать его..
например, можно заметить, что $f'_X\neq0$ и что $f_X$ неприводим (иначе $t^n-x_{12}$ был бы приводим над $\mathbb{F}[t,x_{12}]$).

[Xaositect]

ewert в сообщении #817417 писал(а):

Вы же говорили про $\mathbb R$. Ну так множество диагонализуемых матриц в пространстве вещественных матриц не плотно. Просто потому, что спектр у них может быть и комплексным, а тогда он устойчив по отношению к малым возмущениям.

Да, я имел в виду алгебраически замкнутое поле. В случае $\mathbb{C}$ можно даже взять замыкание не по Зарисскому, а в обычной топологии.

[patzer2097]

ewert в сообщении #817448 писал(а):

Это и через 50 тысяч лет будет иметь ровно тот же смысл. Теорема Гамильтона-Кэли нужна и всегда будет нужна гораздо большему кругу лиц, чем алгебраическая геометрия.

и какой же смысл имеет теорема Гамильтона-Кэли, когда есть ЖНФ?
А если мы все-таки хотим доказать ее просто ради того, чтобы доказать, то можно это сделать очень просто, даже (1) в большей общности и (2) не привлекая никаких сложных конструкций. Например,

если $f_A(A)\neq0$ для какой-то матрицы $A$ над каким-то коммутативным кольцом, то многочлен $f_X(X)$ от элементов матрицы $X=(x_{ij})$ не равен тождественно нулю. А тогда $f_X(X)\neq0$ на открытом множестве комплексных матриц, противоречие.

[ewert]

patzer2097 в сообщении #817485 писал(а):

и какой же смысл имеет теорема Гамильтона-Кэли, когда есть ЖНФ?

а откуда она (ЖНФ) есть?