Волновая функция электрона

[Lvov]

Helium в сообщении #815222 писал(а):

Цитата:

Lvov в сообщении #815186
писал(а):
Уравнение Дирака дает ошибку для спектральных частот в несколько единиц в седьмом знаке.

А уравнение Дирака дает такую точность с учетом отдачи ядра? или без учета отдачи ядра?

С учетом отдачи.

Цитата:

А есть удобная форма волновой функции Дирака? Нельзя построить такой график и сравнить на глаз?

Если Вы имеете ввиду дираковскую волновую функцию для возбужденного атома водорода, то рекомендую посмотреть Ландау, Т.4, 1980, параграф 36. Функция сложная (включает вырожденную гипергеометрическую функцию), спинорная (4 компоненты), графиков нет. На глаз сравнивать бесполезно, если ошибка в 4,5 знаке.
Сравнивать надо частоты экспериментальных и расчетных спектральных линий.

[Helium]

Lvov в сообщении #814394 писал(а):

Комментируя сообщение г.VladimirKalitvianski, замечу, что дополнительное некоторое увеличение размеров волнового пакета никак не свидетельствует о "неограничении" его размеров. Все дело в возможности существования возбужденных атомов с очень большим главным квантовым числом.

Из приведенных графиков видно, что размеры , формы, энергии и волновые функции электронов в спокойном состоянии в атоме и в высоковозбужденном состоянии сильно отличаются. Естественно возникают множество вопросов. После отрыва электрона от атома электрон сохраняет такой возбужденный вид и состояние или переходит в другое состояние? Могут ли существовать свободные электроны в разных возбужденных состояниях оторванные от разных атомов?
Из решении для атома водорода видно , что теоретических ограничении на рост главного квантового числа (у меня используется радиальное квантовое число) не существует. Но наверное может существовать предел перехода в непрерывный спектр надо обдумать.

[Helium]

VladimirKalitvianski в сообщении #814594 писал(а):

Если сравнение с экспериментом дает лажу, то уравнение однозначно плохое. А если хорошее согласие, то уравнение не обязательно правильное. Случайности случаются. Эксперимент не выдает сертификатов правильности и единственности.

Случайности случаются когда пишут уравнения из воздуха. Это не тот случай.
Я обнаружил серьезный недостаток в стационарном уравнении Клейна-Гордона. Выходит что для этого уравнения не существуют решения для заряда ядра $Z>68$. Под корнем получается отрицательное значение. Это ясно видно в формуле для энергий http://web.snauka.ru/issues/2013/12/30356.
Если известны другие аналитические решения интересно было бы сравнивать

[warlock66613]

Helium, уравнение Клейна-Гордона не имеет отношения к водородоподобным ионам. И его уже даже "поправили" задолго до вас. Это сделал Дирак.

[Helium]

warlock66613 в сообщении #816239 писал(а):

Helium, уравнение Клейна-Гордона не имеет отношения к водородоподобным ионам. И его уже даже "поправили" задолго до вас. Это сделал Дирак.

Почему вы раньше не говорили? Я бы не тратил напрасно времени Интересно а к чему имеет отношение стационарный вариант уравнения Клейна-Гордона ? И где аналитическое решение для сраснения?

[warlock66613]

Helium в сообщении #816252 писал(а):

Интересно а к чему имеет отношение стационарный вариант уравнения Клейна-Гордона ?

Он имеет отношение к бесспиновым частицам, а электрон таковой не является. По-идее, можно сделать псевдоион из ядра и пи-минус-мезона, но пион участвует в сильном взаимодействии, и при $n = 0$ он будет располагаться в основном внутри ядра даже при небольших $Z$, так что ваше анализ и в таком случае остаётся не у дел.

Helium в сообщении #816252 писал(а):

И где аналитическое решение для сраснения?

Не понял, аналитическое решение чего? Уравнения Дирака? В "Квантовой механике" Бете есть.

[Helium]

warlock66613 в сообщении #816264 писал(а):

Не понял, аналитическое решение чего? Уравнения Дирака? В "Квантовой механике" Бете есть.

Нет аналитическое решение стационарного уравнения Клейна-Гордона для сравнения с решениями при больших значениях Z. Вы считаете что неучет спина является причиной срыва решений при Z>68 ? Тогда нужны численные данные вклада учета спина в общую энергию для такого утверждения.

warlock66613 в сообщении #816264 писал(а):

Он имеет отношение к бесспиновым частицам, а электрон таковой не является. По-идее, можно сделать псевдоион из ядра и пи-минус-мезона, но пион участвует в сильном взаимодействии, и при $n = 0$ он будет располагаться в основном внутри ядра даже при небольших $Z$, так что ваше анализ и в таком случае остаётся не у дел.

Как известно мезоатом водорода существует можно сравнивать с ним.

[npduel]

warlock66613 в сообщении #816264 писал(а):

Он имеет отношение к бесспиновым частицам, а электрон таковой не является.

Уравнению Клейна-Гордона удовлетворяют все четыре компоненты спинорной волновой функции электрона. Это уравнение имеет то же физическое содержание в теории массивных частиц, как и волновое уравнение в теории Максвелла.

[warlock66613]

npduel в сообщении #816287 писал(а):

Уравнению Клейна-Гордона удовлетворяют все четыре компоненты спинорной волновой функции электрона.

Да кто бы спорил. Просто мы обсуждали уравнение К. - Г. именно как уравнение для однокомпонентной волновой функции.

-- 18.01.2014, 21:44 --

Helium в сообщении #816285 писал(а):

Вы считаете что неучет спина является причиной срыва решений при Z>68 ?

Не совсем. Учёт спина приводит к тому, что $n=0$ становится допустимым при $Z > 68$.

-- 18.01.2014, 21:46 --

Helium в сообщении #816285 писал(а):

Нет аналитическое решение стационарного уравнения Клейна-Гордона для сравнения с решениями при больших значениях Z.

Так вы же его вроде и получили, разве нет? В любом случае, в учебнике Бете оно тоже должно быть.

[Lvov]

npduel в сообщении #816287 писал(а):

Уравнению Клейна-Гордона удовлетворяют все четыре компоненты спинорной волновой функции электрона.

Вы забыли слово "свободного" электрона. Для связанного же электрона, с которым имеет дело г.Helium, в УКГ появляется добавочный член, превращающий его в уравнение Дирака.

-- 18.01.2014, 21:09 --

Helium в сообщении #816017 писал(а):

После отрыва электрона от атома электрон сохраняет такой возбужденный вид и состояние или переходит в другое состояние? Могут ли существовать свободные электроны в разных возбужденных состояниях оторванные от разных атомов?

Свободный электрон в вакууме может характеризоваться разными волновыми функциями и разными значениями энергии непрерывного спектра, но не разными возбужденными состояниями. Его характерная особенность - пространственное расползание.

[Helium]

warlock66613 в сообщении #816288 писал(а):

Helium в сообщении #816285
писал(а):
Нет аналитическое решение стационарного уравнения Клейна-Гордона для сравнения с решениями при больших значениях Z.
Так вы же его вроде и получили, разве нет? В любом случае, в учебнике Бете оно тоже должно быть.

Да я его получил. Но если возможно мое решение не верное я хотел бы сравнивать с другими имеющимся решениями если такие есть.

warlock66613 в сообщении #816264 писал(а):

Он имеет отношение к бесспиновым частицам, а электрон таковой не является. По-идее, можно сделать псевдоион из ядра и пи-минус-мезона, но пион участвует в сильном взаимодействии, и при $n = 0$ он будет располагаться в основном внутри ядра даже при небольших $Z$, так что ваше анализ и в таком случае остаётся не у дел.

Вот решение с учетом массы
${E}_{0}\left(Z \right)=27.2\left[\frac{\sqrt{{c}^{4}{m}^{2}+{c}^{4}{m}^{2}\sqrt{\frac{{c}^{2}-4{Z}^{2}}{{c}^{2}}}}}{\sqrt{2}}-{c}^{2} \right]$

можете подставить любую массу к примеру $m=200$ для мезона без спина. Все равно при $Z>68$ та же картина и это не зависит не от массы не от спина.

[Lvov]

Helium в сообщении #816045 писал(а):

Я обнаружил серьезный недостаток в стационарном уравнении Клейна-Гордона. Выходит что для этого уравнения не существуют решения для заряда ядра $Z>68$. Под корнем получается отрицательное значение.

Предлагаю уточнить. При $Z>68$ не существует водородоподобного иона тяжелых атомов. Но в реальных тяжелых атомах электроны заполняют несколько нижних оболочек. В частности на самой нижней энергетической оболочке всегда находится два электрона, на второй оболочке 8 электронов. Вопрос , допускает ли уравнение Клейна-Гордона многоэлектронные решения при $Z>68$, остается открытым.

-- 19.01.2014, 09:18 --

Helium в сообщении #816306 писал(а):

Вот решение с учетом массы
${E}_{0}\left(Z \right)=27.2\left[\frac{\sqrt{{c}^{4}{m}^{2}+{c}^{4}{m}^{2}\sqrt{\frac{{c}^{2}-4{Z}^{2}}{{c}^{2}}}}}{\sqrt{2}}-{c}^{2} \right]$

Г.Helium, не упустили ли Вы под внутренним корнем рядом с $Z$ величину $\alpha.$

[Helium]

Lvov в сообщении #816449 писал(а):

Предлагаю уточнить. При $Z>68$ не существует водородоподобного иона тяжелых атомов. Но в реальных тяжелых атомах электроны заполняют несколько нижних оболочек. В частности на самой нижней энергетической оболочке всегда находится два электрона, на второй оболочке 8 электронов. Вопрос , допускает ли уравнение Клейна-Гордона многоэлектронные решения при $Z>68$, остается открытым.

А что Вы скажете на численное значение энергии при решении уравнения Клейна-Гордона для водородоподобного атома $Z=68$ которое составляет -128082.76 эВ ? Что почти в два раза больше экспериментального значения -67241.8 эВ. ?
При приближении к величине $Z=68$ решения катастаофически откланяются от экспериментальных.
Это может означать только одно известное релятивистское соотношение энергии и импульса не верно для связанных состояний электрона.

Lvov в сообщении #816449 писал(а):

Г.Helium, не упустили ли Вы под внутренним корнем рядом с $Z$ величину $\alpha.$

Нет не упустил величина $\alpha.$ у меня не используется т.к. есть величина $c=137.036$ скорость света в единицах Хартри и она равна $\frac{1}{\alpha}$ как известно.

[warlock66613]

Lvov в сообщении #816449 писал(а):

При $Z>68$ не существует водородоподобного иона тяжелых атомов.

Насколько я понимаю, почитав Бете, на самом деле решение есть, просто оно имеет неудовлетворительное поведение в области вблизи начала координат (волновая функция очень быстро осциллирует, частота осцилляций $\nu \to \infty$ при $r \to 0$).. Поскольку на самом деле ядро имеет конечный размер, указанная трудность снимается.

Кстати, пионные атомы похоже исследовались-таки экспериментально: проскочило упоминание ислледований пионного атома титана (Delker et al., 1979).

[Helium]

warlock66613 в сообщении #816544 писал(а):

Lvov в сообщении #816449 писал(а):

При $Z>68$ не существует водородоподобного иона тяжелых атомов.

Насколько я понимаю, почитав Бете, на самом деле решение есть, просто оно имеет неудовлетворительное поведение в области вблизи начала координат (волновая функция очень быстро осциллирует, частота осцилляций $\nu \to \infty$ при $r \to 0$).. Поскольку на самом деле ядро имеет конечный размер, указанная трудность снимается.

Кстати, пионные атомы похоже исследовались-таки экспериментально: проскочило упоминание ислледований пионного атома титана (Delker et al., 1979).

По поводу осцилляции вблизи начала координат. Все верно так и есть. Но пока рано что либо сказать по этому поводу.