Вопросы по комбинаторике

[pandamen]

Здравствуйте, уважаемые пользователи! Буду признателен за пояснение к первой задачи и решение второй:

1) Какое наибольшее число различных шаров можно построить в пространстве так, чтобы они касались трех данных плоскостей и данного шара?
2) В соревнованиях по хоккею участвовали пять команд: A, B, C, D, E. В конкурсе знатоков один участник предположил, что они займут места в порядке A, B, C, D, E, а другой предсказал порядок D, A, E, C, B. После окончания соревнований оказалось, что первый не угадал не только место хотя бы одной из команд, но даже какую-либо пару следующих друг за другом команд. Второй же угадал места двух команд и две пары следующих друг за другом команд. В каком порядке расположились команды?


Насчет первой вроде решил, но не уверен что правильно:
три плоскости делят пространство на 8 частей, учитывая как внутреннее, так и внешние касание получаем еще одну двойку в множитель, итого 16. Все верно?

Со второй сложнее, понятно что надо получить некоторые результаты от предсказания второго знатока, а потом просеять через результаты первого, но вот пункт 1 не так просто. В общем, тут совсем не знаю что делать.

[provincialka]

В первой задаче не все ясно, постановка не полная. А вдруг две плоскости параллельны? А то и все три? Об этом ничего не сказано. Кроме того, что означают слова "внутреннее и внешнее касание" по отношению к бесконечным областям? Вне одной области - значит, внутри другой! Лишнего насчитали.

-- 18.01.2014, 07:43 --

Во второй задаче можно посмотреть, входят ли несмещённые элементы в пары. Если один из элементов пары стоит на своём месте, то и другой - тоже. Тогда что произошло с остальными тремя? Где в списке может стоять первая пара?
если же оба несмещенных элемента не принадлежат парам, то пары образуют тройку, $X,Y,Z$ элементов в правильном порядке. Сколько таких возможностей? Может ли это вообще быть?

[gris]

Вторая задача была не так давно. Но там только ответ.

[Deggial]

pandamen
Все формулы и термы набирайте $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
В случае неоформления тема переедет в Карантин.

[popolznev]

provincialka в сообщении #815974 писал(а):

В первой задаче не все ясно, постановка не полная.

Может быть, максимум надо искать в том числе и по взаимным расположениям исходных трех плоскостей и шара?

[provincialka]

popolznev в сообщении #816031 писал(а):

Может быть, максимум надо искать в том числе и по взаимным расположениям исходных трех плоскостей и шара?

Тогда что означает "данные плоскости"? Надо было говорить "некоторые" или что-то в этом роде.

[VAL]

provincialka в сообщении #815974 писал(а):

В первой задаче не все ясно, постановка не полная. А вдруг две плоскости параллельны? А то и все три? Об этом ничего не сказано.

Сказано. Спрашивают о наибольшем возможном числе. Значит, выбираем такое расположение плоскостей и данного шара, при котором искомое количество касаний будет наибольшим.

Цитата:

Кроме того, что означают слова "внутреннее и внешнее касание" по отношению к бесконечным областям? Вне одной области - значит, внутри другой! Лишнего насчитали.

У меня тоже получилось 16.
Но только при условии, что шары надо заменить сферами.
Ну а если не менять, тогда 8.

[provincialka]

VAL в сообщении #816056 писал(а):

У меня тоже получилось 16.

Не могу себе представить. А в плоском случае сколько? Для двух прямых - восемь окружностей, что ли? Не вижу...
Я рассуждаю так. Плоскость делит пространство на два полупространства. Сфера, касающаяся, этой плоскости, целиком лежит в одном из них. Значит, сфера. касающаяся трех плоскостей, лежит в одном октанте. Но в один октант можно вписать одну сферу. Где у меня ошибка?

[VAL]

provincialka в сообщении #816058 писал(а):

VAL в сообщении #816056 писал(а):

У меня тоже получилось 16.

Не могу себе представить. А в плоском случае сколько? Для двух прямых - восемь окружностей, что ли?

Именно!

Цитата:

Не вижу...
Я рассуждаю так. Плоскость делит пространство на два полупространства. Сфера, касающаяся, этой плоскости, целиком лежит в одном из них. Значит, сфера. касающаяся трех плоскостей, лежит в одном октанте. Но в один октант можно вписать одну сферу. Где у меня ошибка?

Так ведь сам ТС написал, про внешнее и внутреннее касание.
Для шаров внутреннее касание - нечто странное, а для сфер - все проходит.
Итого по две сферы в каждом октанте.

[provincialka]

Ой, да я забыла про шар, которого нужно касаться! Только на плоскости смотрела! Что значит решать задачи ночью, sorry.
И все-таки проблема с "данными" плоскостями для меня остается. Число 16 является решением следующей задачи:

Какое наибольшее число различных шаров можно построить в пространстве так, чтобы они касались некоторых трех плоскостей и некоторого шара?

Или, точнее, так:

При каком расположении трех плоскостей и шара существует наибольшее число шаров, которые касаются всех их?

А слово "данные" для меня означает, что они даны, и менять их мы уже не можем. Число же 16 получается, если все плоскости попарно пересекаются и шар содержит внутри себя точку их пересечения. Кстати, замечание насчет шара/сферы тоже остается.