Дифференциальные уравнения - что это?

[Deffe]

Готовлюсь к первому экзамену по ОДУ. Возникают вопросы.
Как я понял, ОДУ - это уравнение, связывающее значения функции и ее производных в одной и той же точке. Требуется найти все функции, удовлетворяющие этому уравнению.
Дальше идут уравнения в дифференциалах. Во-первых: смысл самого понятия дифференциала не ясен. Производная просто определяется через предел ${f}'(x)=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$
Допустим формально такую запись: $\mathrm{d} y = {y}'\mathrm{d} x$
Но почему мы можем умножать на дифференциал и делить на него, как на обычную функцию, превращать уравнение в дифференциалах в уравнения с производными и наоборот?

[arseniiv]

Deffe в сообщении #815843 писал(а):

Допустим формально такую запись: $\mathrm{d} y = {y}'\mathrm{d} x$

Просто на случай, если вы не знали, что скрывается за записью:

Дифференциал функции одной переменной $x$ — это функция двух переменных $x$ и $dx$ (можно было бы её и по-другому обозначить). Точной записью определения будет что-то такое: $(df)(x, dx) = f'(x)\,dx$.

(Дифференциал функции $n$ переменных $x_i$ — это функция $2n$ переменных, все эти $dx_i$ — это тоже аргументы дифференциала.)

[Deffe]

arseniiv, тогда я совсем запутался, почему мы оперируем в уравнениях этим символом как как обычным выражением.

[arseniiv]

Нет-нет, строгого ответа на вопрос про связь дифференциалов и дифуров я не собирался писать, потому что пока не читал (в своё время тоже не рассказывали). Ответ-то есть, только немного подождите (если экзамен по ОДУ не завтра, тогда можно только надеяться…). Я даже учебник, к сожалению, порекомендовать не могу.

Вроде, там замешаны дифференциальные формы и их дифференцирование. Наверно, если вам не рассказывали, почему можно оперировать дифурами так и эдак, то и спрашивать обоснования не будут. Или будут?

[provincialka]

А почему нет? Известно, что дифференциал независимой переменной - это произвольное число, не зависящее от нее. Дифференциал функции - это более сложная конструкция, $dy = f'(x)dx$. Но в силу инвариантности формы первого дифференциала, по его виду не скажешь, где переменная, где функция. Например, пусть $y=f(x), x=g(t)$. Тогда $dy=(f(g(t)))'dt=f'(x)\cdot g'(t)dt = f'(x)dx$, потому что $g'(t)dt$ как раз равно $dx$. Поэтому, работая с первыми дифференциалами мы можем не заморачиваться, что - переменная, что - функция.

Deffe в сообщении #815843 писал(а):

Допустим формально такую запись: $\mathrm{d} y = {y}'\mathrm{d} x$

А почему формально? Это нормальное равенство, справа стоит обычное произведение функций.

[Deffe]

arseniiv, нет спрашивать обоснования этого не будут, т.к. действительно не рассказывали. Экзамен не завтра, но совсем скоро, поэтому, видимо, так и придется пока что принять это как данность.

provincialka,

Цитата:

справа стоит обычное произведение функций

Вот как раз этот момент и не понятен.

[arseniiv]

Deffe в сообщении #815884 писал(а):

arseniiv, тогда я совсем запутался, почему мы оперируем в уравнениях этим символом как как обычным выражением.

Смотря какие преобразования и формулы. Это может быть и d из обозначения производной, и, скажем, из обозначения формы. Не хочу вас пугать. Главное, что эти обозначения здесь обычно ровненько друг с другом сходятся, и ими можно оперировать «по наитию». Более-менее.

[provincialka]

Что значит "непонятен"? Произведение и произведение. А почему нет?
Откуда вообще взялся дифференциал? Например, мы смогли записать приращение функции в виде $f(x+dx)-f(x)=C\cdot dx+o(dx)$. Здесь $C$ - некое число, зависящее от точки (т.е. от $x$), но не зависящее от приращения $dx$. Вот это слагаемое, $Cdx$ и называют дифференциалом. И находят значение коэффициента $C$, его называют производной. Из приведенного равенства как раз и получается формула для производной. То есть дифференциал с самого начала является произведением.

Ну вот, пример. Пусть $f(x)=x^3$. Тогда приращение имеет вид $f(x+dx)-f(x)=(x+dx)^3-x^3=3x^2dx+3x(dx)^2+(dx)^3$. Последние два слагаемых пренебрежимо малы по сравнению с $dx$, если $dx$ - маленькое число. Значит, величина приращения определяется первым слагаемым, $3x^2dx$. Это и есть дифференциал функции $x^3$. И чему оказался равен коэффициент при $dx$? Узнаете?

Так что, выражение $3x^2dx$ - это произведение или нет? Оно получено (в данном случае) из простой формулы сокращенного умножения. Чисто алгебраическим путем.

-- 18.01.2014, 00:53 --

arseniiv в сообщении #815897 писал(а):

Это может быть и d из обозначения производной, и, скажем, из обозначения формы. Не хочу вас пугать.

А по-моему, как раз пугаете! Формы какие-то! Не до форм сейчас человеку... Ему бы с содержанием разобраться

(Оффтоп)

боюсь, что шутка не пройдет, не советское время

[arseniiv]

provincialka в сообщении #815899 писал(а):

Формы какие-то! Не до форм сейчас человеку... Ему бы с содержанием разобраться

Ну что сделаешь, если в содержании — формы… (Даже если и не совсем. Я тут щас говорю о дифурах, а сам уравнение в полных дифференциалах* уже давно не видел. Вроде, его довольно естественно понимать как форменное безобразие?)

* Тфу, точнее, любое уравнение вида $A\,dx + B\,dy = 0$.

(2 provincialka.)

provincialka в сообщении #815899 писал(а):

боюсь, что шутка не пройдет, не советское время

Философию пока ещё преподают. Хотя, может, я уже не уловил всего того, что вкладывали вы.

[provincialka]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #815908 писал(а):

Вроде, его довольно естественно понимать как форменное

Ага. Тому, кто с диф. уравнениями уже разобрался, интегралы второго рода щелкает, как семечки, формулу Стокса пишет с закрытыми глазами левой ногой... Тому - естественно. А ТС-у пока - нет. Он, может, и слова-то такого не слышал. Разве что "форма фигуры - треугольник"

.

[arseniiv]

(2 provincialka.)

Для этого я вначале приписывал «дифференциальная». Ну а вообще это только для того, чтобы Deffe при желании можно было найти про них.

[CptPwnage]

Вообще такие манипуляции с формами объяснены у Арнольда в "Обыкновенных дифференциальных уравнениях" в начале, если в двух словах то формализм такой:
$dx$ и $dy$ линейные операторы, которые на векторе $(a,b)$ дают соответственно $a$ и $b$, а выражение вида $A dx + B dy = 0$ понимается как верное на касательных векторах к интегральной кривой (где действие $dx$ и $dy$ на векторе описано выше).

[provincialka]

CptPwnage, да-а, все сразу стало ясно! ТС, наверное, скажет: ну да, я так и думал!

[CptPwnage]

Ну в Арнольде там более подробно описано, это я так, для экспертов, так сказать.

[provincialka]

Думаю, ТС-су лучше вернуться к этой формулировке после экзамена.