Давайте уменьшим поля вдвое!

[Munin]

Все мы знаем, что

$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\qquad S=-\dfrac{1}{4}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,d^4x.$$

(в единицах Хевисайда, разумеется). Но кроме того, мы знаем операцию антисимметризации тензора $T_{[\mu\nu]}\equiv\tfrac{1}{2}(T_{\mu\nu}-T_{\nu\mu}).$ Так почему не пишут в более естественном виде:

$$S=-\int (\partial_{[\mu}A_{\nu]})(\partial^{[\mu}A^{\nu]})\,d^4x?$$

Все четвёрки исчазают, всё становится красиво, и даже лишнего обозначения $F_{\mu\nu}$ не нужно.

[fizeg]

Прмиенительно к электродинамике я вижу такие преимущества: во-первых, $F_{\mu\nu}$ имеют известную со школьных лет интерпретацию, во-вторых (намного важнее) они по-определению являются калибровочно-инвариантными величинами

Когда вы собираетесь это дело обобщать на неабелевы поля, $F_{\mu\nu}$ имеют четкую геометрическую интерпретацию и очень легко запомнить, что $\operatorname{Tr}(F^2)$ калибровочно-инвариантен. Я могу ошибаться (а проверять сейчас как-то влом), но по-моему $F_{\mu\nu}\neq D_\mu A_\nu-D_\nu A_\mu$, а значит ваша запись не обобщается так тривиально

[Munin]

fizeg в сообщении #815707 писал(а):

во-первых, $F_{\mu\nu}$ имеют известную со школьных лет интерпретацию

А, фигня. Добавим в школьные учебники двойку, они и не заметят. Они и так заучивают "четыре пи эпсилон нулевое".

fizeg в сообщении #815707 писал(а):

во-вторых (намного важнее) они по-определению являются калибровочно-инвариантными величинами

Ну, простите, а их половины - не являются?

fizeg в сообщении #815707 писал(а):

Я могу ошибаться (а проверять сейчас как-то влом), но по-моему $F_{\mu\nu}\neq D_\mu A_\nu-D_\nu A_\mu$, а значит ваша запись не обобщается так тривиально

Вообще-то как раз $F_{\mu\nu}=D_\mu A_\nu-D_\nu A_\mu\neq\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu,$ вы, видимо, со вторым неравенством спутали.
$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+[A_\mu,A_\nu]=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A^a_\mu+gc_{abc}A^b_\mu A^c_\nu.$
(В разных книгах при разных обозначениях зарядов и структурных коэффициентов множители могут отличаться.)

Ну и вообще, как множитель $\tfrac{1}{2}$ может на калибровочную инвариантность каких-то величин повлиять? :-)

[fizeg]

Munin в сообщении #815746 писал(а):

А, фигня. Добавим в школьные учебники двойку, они и не заметят. Они и так заучивают "четыре пи эпсилон нулевое".

Ну в школьные это лихо (тогда еще ВСЕМ придется переучиваться...) Можно ландавшиц поправить... но зачем???
Я только понял, что вас волнует больше именно двойка, а не введение $F_{\mu\nu}$?

Munin в сообщении #815746 писал(а):

вы, видимо, со вторым неравенством спутали.

Нет, не спутал, но просто не помню, верно или нет. Я помню то, как вы расписали его потом, и $F_{\mu\nu}\sim[D_\mu,D_\nu]$, но вот ковариантную производную $A_\mu$ без минимального размышления не напишу

[Munin]

fizeg в сообщении #815768 писал(а):

Я только понял, что вас волнует больше именно двойка, а не введение $F_{\mu\nu}$?

Ну со введением-то всё ясно (на наивном уровне). Без производных в действии - динамики не будет. Можно ещё пообсуждать, зачем их там две, и какие бывают добавки к лагранжиану в КЭД, и как всё это будет выглядеть в SUSY, но это уже другие вопросы, и я думаю, их надо будет искать в учебниках, а не выставлять себя тут идиотом.

fizeg в сообщении #815768 писал(а):

Я помню то, как вы расписали его потом, и $F_{\mu\nu}\sim[D_\mu,D_\nu]$, но вот ковариантную производную $A_\mu$ без минимального размышления не напишу

Вы меня заставили самого усомниться. Пошёл рыться :-)
А впрочем, $F_{\mu\nu}$ кал. инв., и $D_\mu A_\nu-D_\nu A_\mu$ - тоже, так что есть шанс, что они и совпадают :-)

[fizeg]

Munin
Да, я там поправил, что коммутатор с точностью до коэффициента

Munin в сообщении #815773 писал(а):

А впрочем, $F_{\mu\nu}$ кал. инв.

В неабелевой теории нет. Действие Янга-Миллса (с трейсом), да. Петля Вильсона, да. А само $F_{\mu\nu}$ (и его квадрат) нет

[Munin]

fizeg в сообщении #815777 писал(а):

В неабелевой теории нет. Действие Янга-Миллса (с трейсом), да. Петля Вильсона, да. А само $F_{\mu\nu}$ (и его квадрат) нет

А как это совместимо с

fizeg в сообщении #815768 писал(а):

$F_{\mu\nu}\sim[D_\mu,D_\nu]$

?

[espe]

fizeg в сообщении #815768 писал(а):

но вот ковариантную производную $A_\mu$ без минимального размышления не напишу

Это связность. У неё нет ковариантной производной. У неё есть напряжённость.

Вообще не пойму в чём проблема.

fizeg в сообщении #815777 писал(а):

А само $F_{\mu\nu}$ (и его квадрат) нет

$F'_{\mu\nu}=UF_{\mu\nu}U^{-1}.$ Пока не напишете $\operatorname{tr}$ не получите калибровоно-инварантной величлины. То, что для $U(1)$ $\operatorname{tr}$ можно не писать на деюсь всем здесь очевидно.

[Munin]

Ну мы на другой вопрос скатились. Спасибо, конечно, и я постараюсь разобраться, но изначально я хотел всего лишь спросить, почему бы не переопределить поля вдвое.

Ну, если формулировать глубже, то всегда ли поле - антисимметризованный тензор?

[warlock66613]

Но тогда в $\mathbb{F}=d \mathbb{A}$ вылезет коэффициент, разве нет?

[fizeg]

espe в сообщении #815819 писал(а):

Это связность. У неё нет ковариантной производной. У неё есть напряжённость.

да. это глупо было. Можно было бы конечно формально применить формулу, но особого смысла в этом правда нет

Munin в сообщении #815936 писал(а):

Ну, если формулировать глубже, то всегда ли поле - антисимметризованный тензор?

ну гравитация вон тензор симметричный Вы о чем?

[Munin]

fizeg в сообщении #815943 писал(а):

ну гравитация вон тензор симметричный :P

К гравитации, кстати, замечаний нет. Там в формулу символов Кристоффеля входит эта самая одна вторая. Так что её переопределять не будем.

fizeg в сообщении #815943 писал(а):

Вы о чем?

О векторных полях, массивных и не очень.

warlock66613 в сообщении #815937 писал(а):

Но тогда в $\mathbb{F}=d \mathbb{A}$ вылезет коэффициент, разве нет?

А зачем нам такая формула? Разве антисимметризация по индексам не лучше?

-- 18.01.2014 13:59:05 --

Кажется, начинаю понимать. Внешняя производная отличается от просто антисимметризации ровно на эту самую $\tfrac{1}{2!}.$ И никак от этого отличия не избавиться. И надо выбирать, какое определение удобней, а привязка к внешней производной естественней. Тогда вопрос снят. Спасибо warlock66613.