Пифагоровы тройки

[Andrey A]

Из острого угла пифагорова треугольника опущена медиана. Может ли ее длина выражаться целым числом?

[venco]

Опишите ваши попытки решения?

[Andrey A]

$(xy)^2+(x^2-y^2)^2=z^2$
$x^4+y^4=(xy)^2+z^2$
$z$ тоже сумма квадратов. Можно много разного написать, но это ни к чему не ведет. Если подобная ситуация где-то рассматривалась, мне бы ссылку.

[Andrey A]

P.S. Задача решается, если находятся $x_1y_1=xy$ такие, что $x^2-y^2=\frac{x_1^2-y_1^2}{2}$. Тогда $z=\frac{x_1^2+y_1^2}{2}$. Положим $x=ac;y=bd;x_1=ad;y_1=bc$, тогда $(ac)^2-(bd)^2=\frac{(ad)^2-(bc)^2}{2}$ или $(a^2+2b^2)d^2=(b^2+2a^2)c^2$, но я пока не очень понимаю, как решать такое уравнение.

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #815474 писал(а):

$x^4+y^4=(xy)^2+z^2$

См. стр. 20 в книге: Mordell L.J. Diophantine equations (Academic Press, 1969).

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #815485 писал(а):

Andrey A в сообщении #815474 писал(а):

$x^4+y^4=(xy)^2+z^2$

См. стр. 20 в книге: Mordell L.J. Diophantine equations (Academic Press, 1969).

Спасибо!