Бесконечность

[derFremde]

epros в сообщении #810332 писал(а):

Простейший пример "отсутствия конца" даёт множество натуральных чисел: нет такого числа, которое было бы максимальным.

Тоже мне аргумент! А "бесконечно большое число" у вас, значит, есть? :)
Потенциальная и актуальная бесконечности - две большие разницы.

[Linkey]

epros в сообщении #812088 писал(а):

Ибо конструктивная логика как раз различает два вида существования: собственно "объект существует" и "объект не может не существовать"

(Оффтоп)

А в чём разница?

-- 16.01.2014, 11:55 --

Someone в сообщении #811949 писал(а):

Однако из меня готовили не философа, а математика. И я хорошо вижу, что в математике (как классической, так и конструктивной) нет понятий потенциальной и актуальной бесконечности, потому что выразить математически разницу между "потенциально бесконечным" и "актуально бесконечным" в том виде, как это сформулировано у философов, не удаётся.

Может быть, в будущем математика разовьётся так, что выразить её станет возможно?

[Aritaborian]

Linkey в сообщении #815111 писал(а):

А в чём разница?

Возможно, имелась в виду разница между предъявлением объекта и доказательством его существования.

Linkey в сообщении #815111 писал(а):

Может быть, в будущем математика разовьётся так, что выразить её станет возможно?

Не тупите.

[arseniiv]

Linkey
Тут, в принципе, достаточно написали для следа понимания, если знать немного обозначений типа $\neg$ — отрицание.
В конструктивной логике $\neg\neg A$ и $A$ — не эквивалентные высказывания (в классической — да): из второго следует первое, но не наоборот. Из этого вытекает, что $\neg\forall x\mathbin.\neg P(x)$ «не для всех объектов не выполняется свойство $P$» и $\exists x\mathbin.P(x)$ «существует объект со свойством $P$» — не одно и то же (когда в классической логике — одно). Первое предложение у нас получится, если мы попытаемся доказать существование от противного, частый способ при использовании классической логики.

[ratay]

Понятия актуальной и потенциальной бесконечности
обсуждаются еще со времен Ньютона и Лейбница. Правда,
они говорили о бесконечно малых, но это две стороны одной
медали. Сущность понятия бесконечность математика нам
объяснить не может, она может лишь ответить, противоречива система аксиом или нет. Если мы говорим о
реальности, то мы видим, что всякая теория имеет границы
применения, но как только мы приближаемся к этим границам, появляется новая теория-расширение. Отрицание
бесконечности - это отрицание развития, стремление создать
абсолютную, окончательную теорию.
Для нас же важнее понять, какая она, бесконечность.
Потенциальная - это процесс, актуальная - это сущность, и
это тоже две стороны одной медали.
Есть бесконечность дискретная (счетная) и непрерывная.
Бесконечность - это не что-то единое. Бесконечность
плоскости качественно отличается от бесконечности прямой
(это к вопросу о том, чем бесконечность в квадрате
отличается от бесконечности).
Ну и, конечно, придет Munin и все объяснит, но не все
объяснения следует принимать на веру.

[Aritaborian]

ratay в сообщении #815720 писал(а):

Бесконечность плоскости качественно отличается от бесконечности прямой

А вам известно, что в квадрате «столько же» точек, сколько в отрезке?

[EEater]

ratay в сообщении #815720 писал(а):

Бесконечность - это не что-то единое.

Единственное верное из вашего текста.
"Бесконечность" это просто слово. Строго говоря, в математике такого понятия нет. (Хотя есть символ).

[Lukin]

Aritaborian в сообщении #815732 писал(а):

ratay в сообщении #815720 писал(а):

Бесконечность плоскости качественно отличается от бесконечности прямой

А вам известно, что в квадрате «столько же» точек, сколько в отрезке?

Ну, во-первых, понятие "столько же" можно понимать по разному, особенно, если речь о бесконечностях. Бесконечности можно по разному понимать и определеять.
Во-вторых, даже если определить понятие "столько же", как эквивалентное, для точек на отрезке и квадрате, есть же еще совокупность других свойств, по которым, они не эквивалентны (хотя ratay может быть их смешивает ?)

[Munin]

(Оффтоп)

EEater в сообщении #815741 писал(а):

Хотя есть символ.

И не один. Я навскидку четыре помню: $\infty,\aleph,\omega,\mathfrak{c}$ (не считая всяких индексов - это всё-таки не символы). Не бейте меня ногами, я плохо в школе учился, и больше не помню. Ну, разве что иногда ещё ``$\ldots$'' можно считать таким символом. $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{R},\mathbb{C}$ употребляются в смысле символа бесконечности (например, в показателе степени), но их основное значение всё-таки другое. Чего бы ещё такое вспомнить...

-- 17.01.2014 20:30:34 --

Lukin в сообщении #815742 писал(а):

Ну, во-первых, понятие "столько же" можно понимать по разному, особенно, если речь о бесконечностях.

Как раз нет. Бесконечности можно понимать по-разному, а вот "столько же" - всегда одинаково.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #815776 писал(а):

И не один. Я навскидку четыре помню: $\infty,\aleph,\omega,\mathfrak{c}$

Знак бесконечности - первый. Остальные - бесконечные кардиналы/ординалы.
Рядом, но не совсем одно и то же.

[Munin]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay
Является ли бесконечный кардинал бесконечностью?

[provincialka]

Munin в сообщении #815890 писал(а):

(Оффтоп)

Dan B-Yallay
Является ли бесконечный кардинал бесконечностью?

(Оффтоп)

Das cats eat bats? Смотрите-ка, уже 13-ая страница пошла... любят у нас на форуме такие темы, ох, любят...

[Dan B-Yallay]

(Munin)

Munin в сообщении #815890 писал(а):

Dan B-Yallay
Является ли бесконечный кардинал бесконечностью?

Вопрос, конечно же, терминологический. Так же как и встречный вопрос: являтся ли протон электричеством?

Бесконечный кардинал является бесконечностью в том смысле, что он не является конечным.

Дело в том, что pазличных (неравномощных) бесконечных множеств бесконечно много и поэтому специалисты придумали/используют кардиналы для обозначения мощностей и ординалы для различных упорядочиваний этих множеств.

Eсли же не углубляться в эту экзотику, то в остальных разделах математики переменные не стремятся к $\mathfrak{c}$. Вы не увидите область определения или значений функции в виде $(0, \omega_1 +3) \cup [ \aleph_2, \aleph_{7}]$, суммирование/интегрирование до $2^{\aleph_0}$ или дополнение комплексной плоскости каким-нибудь кардиналом $\aleph_{\omega_1}$. Для всего этого есть $\infty$.

В вышеизложенном смысле $\infty$ является общим обозначением для "бесконечности", а кардиналы/ординалы - специфическими примерами таковой. В обозначениях кардиналов/ординалов символ $\infty$ не используется и, к примеру, запись $2^\infty$ не имеет смысла. По крайней мере мне не встречалось.

[dvb]

Lukin в сообщении #815742 писал(а):

Во-вторых, даже если определить понятие "столько же", как эквивалентное, для точек на отрезке и квадрате, есть же еще совокупность других свойств, по которым, они не эквивалентны (хотя ratay может быть их смешивает ?)

Золотые Ваши слова! Точки на прямой линейные, а в квадрате - квадратные. И с этим ковром Серпинского математики подложили физикам большую свинью...

[Munin]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #815967 писал(а):

Так же как и встречный вопрос: являтся ли протон электричеством?

Вот чёрт. Уговорили.

Dan B-Yallay в сообщении #815967 писал(а):

Eсли же не углубляться в эту экзотику, то в остальных разделах математики переменные не стремятся к $\mathfrak{c}$. Вы не увидите область определения или значений функции в виде $(0, \omega_1 +3) \cup [ \aleph_2, \aleph_{7}]$, суммирование/интегрирование до $2^{\aleph_0}$ или дополнение комплексной плоскости каким-нибудь кардиналом $\aleph_{\omega_1}$. Для всего этого есть $\infty$.

Это всё ерунда, специфика "остальных разделов математики" (из которых вы почему-то перечислили только математический анализ - а математика намного шире). Кстати, суммирование/интегрирование по $2^{\aleph_0}$ - а почему бы и нет? Как записывается интеграл по всем $p$-адическим числам, интересно?

Дополнение комплексной плоскости - вообще одна точка. Хоть чёртом в ступе её обозначь, с бесконечностью это ничего общего не имеет. Это северный полюс на сфере Римана.

Dan B-Yallay в сообщении #815967 писал(а):

В обозначениях кардиналов/ординалов символ $\infty$ не используется и, к примеру, запись $2^\infty$ не имеет смысла. По крайней мере мне не встречалось.

Значит, не такое уж это обозначение и общее. Наоборот, слишком грубое, не имеющее необходимой "разрешающей способности". И судя по вашему примеру, эти символы всё-таки параллельны друг другу, в большей степени, чем протон и электричество.

dvb в сообщении #815968 писал(а):

Золотые Ваши слова! Точки на прямой линейные, а в квадрате - квадратные.

А, я понял, я понял, а в треугольнике - треугольные! Так?

И как следствие, такой вещи, как пересечение треугольника и квадрата, существовать вообще не может.