Геометрическая интерпретация СТО

[Sanek6192]

EvilPhysicist в сообщении #814666 писал(а):

Sanek6192 в сообщении #814653 писал(а):

Пусть $t_B=1$

А если $t_B=1.01$? или $t_B=1.000001$? или вообще $t_B=42$? Пишите ответы в общем виде.

Sanek6192 в сообщении #814653 писал(а):

Соответственно когда они встретятся в системе отсчета B пройдет:
$t_B=2$
Соответственно когда они встретятся в системе отсчета А относительно B пройдет времени
$t_A=2\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

То есть $t_A = t_B \sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}$?
У вас получается, что $t_A< t_B$. Значит меньше должен состарится наблюдатель, оставшийся на Земле.

Нет. Это указано относительно наблюдателя в системе отсчета В, который движется.
Если скорость системы отсчета В на момент встречи с системой отсчета А станет равной нулю относительно нее, тогда часы у наблюдателей будут показывать:
$t_A=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$t_B=t$
А если система отсчета В движется пролетая мимо, то для нее в системе отсчета А прошло:
$t_A=t\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$
Соответственно если ускорится система отсчета А, то времени в ней пройдет меньше.

[EvilPhysicist]

Sanek6192, как же вы до ужаса все усложнили. Задача в три строчки, а вы грод городите. Почитайте наконец учебники.

[npduel]

Sanek6192 в сообщении #813671 писал(а):

Событие в моем понимании не может быть точкой. У него должна быть длительность. Я имею ввиду промежуток времени между началом события и его концом.

Вы мимоходом прикоснулись к очень важному вопросу, но не стали его дальше развивать. Извините, но меня интересует только физика, поэтому Ваши геометрические исследования мне не интересны, и я не знаю, в каком контексте Вы написали процитированную фразу. Фраза эта имеет прямое отношение к физике, к СТО в её неынешнем изложении в учебниках. Не знаю, с каких пор это повелось, но сейчас событием называют именно точку в пространстве-времени Минковского. Сам Минковский называл эту точку мировой точкой, а не событием. Вы правильно отметили, что событие должно обладать пусть и бесконечно малой, но не нулевой длительностью, иначе оно выпадает из теории относительности. Дело в том, что, в соответствии с преобразованиями Лоренца, промежутки времени относительны, а точки абсолютны - они одни и те же во всех системах отсчёта.

[oleg_2]

У Вас на графиках какие-то две линии, одна длинная горизонтальная на середине листа,
вторая короткая горизонтальная предпоследняя вверху, что это за линии?
Внизу рисунка векторный треугольник, один из векторов обозначен $c$. Это вектор
скорости света? Догадываюсь - да. И я вроде бы догадался, что Вы нарисовали и
к чему это сводится. Это сводится к световым часам. Но у Вас ось $x_B$ вообще не
задействована. На $x_A$ нужно опустить проекцию вертикально, получим расстояние,
которое пролетела ракета. Пока Вы всего лишь продемонстрировали графический вариант
формулы замедления времени. Это много нагляднее демонстрируется с помощью световых
часов.
Еще ошибку заметил на первом рисунке. $t_A$ нанесено неправильно. Гипотенузу верхнего
треугольника надо сложить с гипотенузой нижнего, $t_A$ получится повыше.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

О боже, да любое продолжительное событие разбиваем на два мгновенных "начало события" и "конец события", и дело с концом — стандартный прием что в механике, что в теории процессов (в информатике). И вообще, начинать с материальных точек/моментов времени/событий и двигаться уже к протяженным телам/временам/процессам все-таки проще, чем в обратную сторону.

[Munin]

Sanek6192 в сообщении #814653 писал(а):

Соответственно когда они встретятся в системе отсчета А пройдет:
$t_A=\frac{2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Sanek6192 в сообщении #814653 писал(а):

Соответственно когда они встретятся в системе отсчета А относительно B пройдет времени
$t_A=2\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Какой из этих двух ответов считать вашим окончательным ответом? Они совершенно разные.

EvilPhysicist в сообщении #814666 писал(а):

Пишите ответы в общем виде.

Не сердитесь, я так условия задал.

-- 15.01.2014 20:14:46 --

Munin в сообщении #814769 писал(а):

Какой из этих двух ответов считать вашим окончательным ответом? Они совершенно разные.

А, я понял. Вы решили, как я и просил, задачу в двух системах отсчёта. И у вас получились разные ответы.

Это признак ошибки. Ответы должны были получиться одинаковые.

[oleg_2]

Второй график у Вас совсем неправильный. Я не могу догадаться, какое правило придумать.
Ясно, что время $t_A$ встречи должно быть суммой гипотенуз, а $t_B$ время встречи -
суммой катетов. Летающий туда-обратно близнец должен оказаться моложе своего брата.

-- 15.01.2014, 20:41 --

И кроме того, ракета не все время связана с одной ИСО. Обычно в старой, неевклидовой
геометрии какую-нибудь одну ИСО принимают неподвижной
-ИСО домоседа;
-ИСО космонавта "туда";
-ИСО космонавта "обратно".
Наверно так надо и в Вашей новой геометрии.

[Sanek6192]

Munin в сообщении #814769 писал(а):

Какой из этих двух ответов считать вашим окончательным ответом? Они совершенно разные.

А, я понял. Вы решили, как я и просил, задачу в двух системах отсчёта. И у вас получились разные ответы.
Это признак ошибки. Ответы должны были получиться одинаковые.[/quote]

Ответ таков:
Если в момент встречи остановится система отсчета "B" относительно "А", то промежутки времени будут:
$t_B=t=2$
$t_A=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

-- 15.01.2014, 23:08 --

oleg_2 в сообщении #814757 писал(а):

У Вас на графиках какие-то две линии, одна длинная горизонтальная на середине листа,
вторая короткая горизонтальная предпоследняя вверху, что это за линии?
Внизу рисунка векторный треугольник, один из векторов обозначен $c$. Это вектор
скорости света? Догадываюсь - да. И я вроде бы догадался, что Вы нарисовали и
к чему это сводится. Это сводится к световым часам. Но у Вас ось $x_B$ вообще не
задействована. На $x_A$ нужно опустить проекцию вертикально, получим расстояние,
которое пролетела ракета. Пока Вы всего лишь продемонстрировали графический вариант
формулы замедления времени. Это много нагляднее демонстрируется с помощью световых
часов.
Еще ошибку заметил на первом рисунке. $t_A$ нанесено неправильно. Гипотенузу верхнего
треугольника надо сложить с гипотенузой нижнего, $t_A$ получится повыше.

Сейчас я вам попробую объяснить логику своих построений

Отойдем немного от темы осей. Возьмем декартово 2-х мерное пространство.
Время будем измерять по часам.
Из точки О выходят два луча. В момент времени $t=t_1$ лучи остановятся в т.$O_1$ и $A_1$.
Через эти точки проведем перпендикулярные лучам прямые a и o.
Пусть через эти прямые мгновенно передается информация о пересечении их лучами.
Тогда в момент времени $t_1$ на каждой из прямых только одно пересечение.
А в момент времени $t_2$ на прямых появятся точки взаимного пересечения.
Причем когда луч $OO_2$ пересечет прямую "а" в т.$O_2$. На этой прямой уже будет точка $A_1$ пересечения с лучом $OA2$, которая появилась в момент времени $t_1$
Собственно из такой логики строятся мои построения.
Позже я расскажу зачем я вообще начал искать аналогию геометрии СТО в декартовом пространстве.
Но сначала хочу доказать равенство следствий.

[Munin]

Sanek6192 в сообщении #814870 писал(а):

Если в момент встречи остановится система отсчета "B" относительно "А", то промежутки времени будут:
$t_B=t=2$
$t_A=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Ответ должен не зависеть от того, какая точка относительно какой остановится. Кстати, точка и система отсчёта - вещи разные.

[oleg_2]

Ранее я Вам написал, что Ваше построение сводится к световым часам
post814757.html#p814757
Покажу, почему я так написал.
Световые часы это два параллельных зеркала на расстоянии $L$ друг от друга.
Между зеркалами летает короткий импульс света. Каждый раз, когда свет прилетает
к первому зеркалу, срабатыает счетчик.
Вот двухминутный ролик, два звездолета летят параллельным курсом,
а между ними летает импульс света, световой зайчик.
http://www.youtube.com/watch?v=u5BHDY1XbDM

Цикл часов двухфазный, туда-обратно. Для простоты рассмотрим только первую
фазу. Обозначим собственный период часов $2t_0$, длительность фазы $t_0$.
Слева на рисунке нарисованы световые часы и показан вектор скорости зайчика.
Теперь пусть эти часы летят мимо нас со скоростью $v$. Мы увидим зайчик, летящий
по диагонали, вектор его скорости повернется вправо, оставаясь равным единице по
модулю. Вертикальная составляющая скорости зайчика уменьшится. Он доберется до
верхнего зеркала позже, чем зайчик в наших, неподвижных часах.
Часы успеют долететь до точки $x_1$.
$x_1=vt=v\frac{L}{c_y}=v\frac{L}{\sqrt{c^2-v^2}}=v\frac{L}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$t_0=\frac{L}{c}$, подставим это
$x_1=vt=vt_0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$t=t_0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Обратите внимание - вертикальная ось не ось времени, а ось $y$.
Простите за плохие рисунки.

Сравните этот мой рисунок с Вашим графиком.
Тот же векторный треугольник $c, c_x, c_y$. Так же Вы сопоставляете гипотенузу и
катет, только с помощью хитрых построений перенося их на ось времени.
Немудрено, что Вы получили правильную формулу замедления времени.
Проекция точки на ось у Вас не очень Евклидова, поэтому разметка оси времени плохая,
я Вам писал, что скорость - это $dx/dt$, а не $ds/dt$. Это же тоже нестыковка.
Кроме этих "светочасовых" треугольников на Вашем графике пока больше ничего и нет.
А правила складывания гипотенуз и катетов вряд ли получатся простыми и понятными.
Оси $x_B$ наверно не будет вовсе за ненадобностью.
Теперь посмотрите на неевклидовый график задачи о близнецах

Алия87 post641309.html#p641309 писал(а):

Что тут неевклидового? Неевклидовая разметка осей движущихся ИСО. Зато много
других преимуществ.

Тут рисунок сложения скоростей от Алия87
post592453.html#p592453