Компактность сферы.

[nglain]

Доказать что на сфере ($S^2$) конечное число изолированных особых точек (в которых ВП обращается в ноль, у которых имеется окрестность не содержащая других особых точек).

Предположим противное. Пусть имеется бесконечное кол-во изол. особых точек на сфере. Сфера - компактное множество. Возьмем в качестве покрытия сферы объединение окрестностей каждой изолированной особой точки + дополнение этого объединения до открытого шара содержащего эту сферу. Из такого покрытия сферы никак не выделить конечного подпокрытия. Противоречие.

Есть ли ошибка в доказательстве?

[popolznev]

Изолированных особых точек *непрерывного векторного поля*, надо полагать.

Ошибка в доказательстве есть, но она относится не к сути задачи, а общекультурная, так сказать. Или даже это не ошибка, а неприятность такая, шероховатость. "Шар, содержащий сферу" - в $R^3$, видимо. Но надо ли сферу $S^2$ мыслить именно в $R^3$, а не саму по себе?

[svv]

У меня ещё такая претензия.
Мы учитываем замечание, которое сделал popolznev, и вместо дополнения того объединения до шара берём его дополнение до сферы. Но будет ли дополнение открытым? Скорее нет, чем да. А в лемме о конечном покрытии речь о покрытии открытыми множествами.

[Oleg Zubelevich]

В компактном множестве всякая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

[nglain]

popolznev в сообщении #813809 писал(а):

Изолированных особых точек *непрерывного векторного поля*, надо полагать.

Ошибка в доказательстве есть, но она относится не к сути задачи, а общекультурная, так сказать. Или даже это не ошибка, а неприятность такая, шероховатость. "Шар, содержащий сферу" - в $R^3$, видимо. Но надо ли сферу $S^2$ мыслить именно в $R^3$, а не саму по себе?

ах, верно, непрерывного ВП, спасибо за поправку. И да, нужно было уточнить, что шар берем в $\mathbb{R}^3$.
Мы знаем что сфера $S^2$ компактна в $R^3$, значит можем рассмотрим её именно в $\mathbb{R}^3$. А дальше уже работает доказательство.. верно?

svv в сообщении #813855 писал(а):

У меня ещё такая претензия.
Мы учитываем замечание, которое сделал popolznev, и вместо дополнения того объединения до шара берём его дополнение до сферы. Но будет ли дополнение открытым? Скорее нет, чем да. А в лемме о конечном покрытии речь о покрытии открытыми множествами.

Ну так поэтому я и беру дополнение до открытого шара, чтобы получить открытое покрытие.

Oleg Zubelevich в сообщении #813861 писал(а):

В компактном множестве всякая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Не понял как это относится к задаче..

[Someone]

nglain в сообщении #814759 писал(а):

Мы знаем что сфера $S^2$ компактна в $R^3$

Причём тут $\mathbb R^3$? Сфера $\mathbb S^2$ компактна сама по себе.

nglain в сообщении #813803 писал(а):

Предположим противное. Пусть имеется бесконечное кол-во изол. особых точек на сфере. Сфера - компактное множество. Возьмем в качестве покрытия сферы объединение окрестностей каждой изолированной особой точки + дополнение этого объединения до открытого шара содержащего эту сферу. Из такого покрытия сферы никак не выделить конечного подпокрытия. Противоречие.

Если Вы для каждой особой точки возьмёте на сфере какую-то открытую окрестность, то объединение этих окрестностей будет открытым подмножеством сферы. Но вот дополнение этого объединения, если оно не пустое и не совпадает со всей сферой, открытым множеством никак не будет.

[nglain]

Someone в сообщении #814782 писал(а):

Причём тут $\mathbb R^3$? Сфера $\mathbb S^2$ компактна сама по себе.

Если мы будем рассматривать сферу саму по себе, то не будет существовать открытого покрытия сферы (т.к. сама сфера замкнутое множество) и тогда компактность сферы никак мы не сможем использовать в док-ве. А как раз идея док-ва в том, чтобы прийти к противоречию с определением компактности.

Someone в сообщении #814782 писал(а):

Если Вы для каждой особой точки возьмёте на сфере какую-то открытую окрестность, то объединение этих окрестностей будет открытым подмножеством сферы. Но вот дополнение этого объединения, если оно не пустое и не совпадает со всей сферой, открытым множеством никак не будет.

Верно, спасибо. А что если взять не просто дополнение к объединению, а продлить его немного? Так, чтобы оно стало открытым, но все еще не содержало ни одной особой точки!

А именно: в каждой окрестности особой точки существует замкнутое множество содержащее её, так вот дополнение к объединению этих замыканий будет открыто уже. Так вот такое дополнение возьмем в покрытие вместо прошлого. Оно уже будет открыто.

[provincialka]

nglain в сообщении #814837 писал(а):

Если мы будем рассматривать сферу саму по себе, то не будет существовать открытого покрытия сферы (т.к. сама сфера замкнутое множество)

1. Для всякого множества (пусть даже замкнутого) существует открытое покрытие: например, его можно составить из окрестностей всех точек (по одной окрестности на точку).
2. Сфера как подмножество самой себя, конечно, будет не только замкнута, но и открыта, т.е. одна создаст открытое (и конечное) покрытие себя.

[nglain]

provincialka в сообщении #814843 писал(а):

1. Для всякого множества (пусть даже замкнутого) существует открытое покрытие: например, его можно составить из окрестностей всех точек (по одной окрестности на точку).
2. Сфера как подмножество самой себя, конечно, будет не только замкнута, но и открыта, т.е. одна создаст открытое (и конечное) покрытие себя.

Вооот, большое спасибо, я раньше считал по-другому!

[Someone]

nglain в сообщении #814858 писал(а):

Вооот, большое спасибо, я раньше считал по-другому!

Посмотрите, что такое подпространство топологического (или метрического) пространства.

[g______d]

nglain в сообщении #813803 писал(а):

Доказать что на сфере ($S^2$) конечное число изолированных особых точек (в которых ВП обращается в ноль, у которых имеется окрестность не содержащая других особых точек).

nglain в сообщении #813803 писал(а):

Есть ли ошибка в доказательстве?

Так утверждение же неверно, разве нет? Возьмем функцию $y^2+x\sin \frac{1}{x}$, доопределенную в нуле. У нее бесконечно много изолированных нулей. Пересадим ее в окрестность точки на сфере и умножим на векторное поле, ненулевое в окрестности этой точки; а вне этой окрестности домножим на срезку.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #814871 писал(а):

Так утверждение же неверно, разве нет? В

это уже слишком

nglain в сообщении #813803 писал(а):

Доказать что на сфере ($S^2$) конечное число изолированных особых точек (в которых ВП обращается в ноль, у которых имеется окрестность не содержащая других особых точек).

Предположим множество особых точек бесконечно. тогда оно имеет предельную точку. По непрерывности эта предельная точка является особой. Но неизолированной. Противоречие.

-- Ср янв 15, 2014 23:11:23 --

popolznev в сообщении #813809 писал(а):

*непрерывного векторного поля*,

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #814892 писал(а):

Предположим множество особых точек бесконечно. тогда оно имеет предельную точку. По непрерывности эта предельная точка является особой. Но неизолированной. Противоречие.

Я не понимаю. Где мы предполагали, что особых неизолированных точек нет? У нас есть много особых изолированных и одна неизолированная.

[provincialka]

g______d в сообщении #814947 писал(а):

Я не понимаю. Где мы предполагали, что особых неизолированных точек нет? У нас есть много особых изолированных и одна неизолированная.

Кстати, тут я согласна с g______d. Мне тоже это помешало. В точном смысле в условии ничего не говорится о существовании неизолированных особ. точек.

[Oleg Zubelevich]

да, согласен