об уравнении Навье-Стокса

[shwedka]

Сегодня пошли круги о якобы решении задачи о НС математиком из Казахстана.
Можно было бы посмеяться, но я лично знаю автора, он очень серьезный математик.
http://www.enu.kz/ru/info/novosti-enu/24698/

В этой информации есть ссылка на публикацию,
Полная статья Мухтарбая Отелбаева опубликована в «Математическом журнале» (2013, т.13, № 4 (50)) http://www.math.kz/index.php/ru/513
но, естественно, сайт журнала перегружен и туда не добраться.
Если кому-нибудь удастся до статью достучаться, скачайте. плиз, и поместите в доступное место.

Абстракт
Отелбаев М. Существование сильного решения уравнения Навье-Стокса
[Скачать статью] [Реферат (скрыть)]

В работе дано решение шестой проблемы тысячелетия (The Millennium Prize Problems): доказаны существование и единственность сильного решения трехмерной задачи Навье-Стокса с периодическими краевыми условиями по пространственным переменным.
Ключевые слова: шестая проблема тысячелетия, уравнение Навье-Стокса, сильное решение.

Результат опирается на предшествующие публикации автора
http://enu.kz/repository/repository2013 ... 851%29.pdf
http://enu.kz/repository/repository2013 ... 818%29.pdf
http://www.maikonline.com/maik/showArti ... V8&lang=ru

[Deggial]

shwedka в сообщении #812440 писал(а):

Полная статья Мухтарбая Отелбаева опубликована в «Математическом журнале» (2013, т.13, № 4 (50)) http://www.math.kz/index.php/ru/513
но, естественно, сайт журнала перегружен и туда не добраться.
Если кому-нибудь удастся до статью достучаться, скачайте. плиз, и поместите в доступное место.

Скачал с этого сайта саму статью и выложил, пароль к файлу 123

При открытии ошибка could not parse

[shwedka]

Я тоже скачала, у меня срабатывает
http://rghost.ru/51546226
100 страниц.
Но уже не нравится:
поставлены условия периодичности давления.

В Клэйновской формулуровке такого нет.

[Nemiroff]

http://rghost.ru/51546343

123

М-м-м, уже не нужно.

[g______d]

Пока плохо понимаю даже формулировку. Возможно, потому что в НС вообще не разбираюсь. Почему достаточно считать начальную скорость нулевой (формула (1.2))? Разве даже для малых начальных скоростей задача не решена? Или дело в ненулевом $f$ и это какой-то известный трюк?

[shwedka]

в грубых словах, можно с помощью трюка, замены функции, перегонять начальные условия в силу (но не наоборот).
Про малые начальные скорости -- ситуация классическая такая. При малых начальных скоростях И НУЛЕВОЙ СИЛЕ существование решения доказано, но на конечном времени, тем меньшем, чем больше начальная скорость,
и продвинуться далеко шажками по времени не получается.
Вобще, у Тао есть большая популярная статья, объясняющая математические механизмы математической безнадежности трехмерной задачи по сравнению с относительно простой двумерной (решенной 55 лет назад Ладыженской).
Если самостоятельно не найдете- могу поискать ссылку.

UPD.
Я написала Тао об Отелбаеве. Пока что реакции нет, думаю, что есть языковые проблемы, но в Калифорнии русскоязычных математиков сотни, так что реакция вскоре будет.

[g______d]

Да, спасибо, я уже нашел и про силу понял.

[Oleg Zubelevich]

несколько подозриительно, что автор получает основной результат (как я понял) в виде следствия общей теоремы, которая не слишком учитывает специфику нелинейности Навье-Стокса

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #813083 писал(а):

Про малые начальные скорости -- ситуация классическая такая. При малых начальных скоростях И НУЛЕВОЙ СИЛЕ существование решения доказано, но на конечном времени, тем меньшем, чем больше начальная скорость,

т.е. результаты Като и Фуджиты аж 62 года прошли мимо вас...

shwedka в сообщении #812604 писал(а):

Но уже не нравится:
поставлены условия периодичности давления.

вам не нравится, что он ищет решение в менее широком классе функций, чем предложено в официальной постановке института Клэя?

shwedka в сообщении #813083 писал(а):

Я написала Тао об Отелбаеве. Пока что реакции нет,

Не огорчайтесь, раз ВЫ написали, то реакция несомненно последует

[shwedka]

Oleg Zubelevich в сообщении #813112 писал(а):

shwedka в сообщении #813083 писал(а):

Про малые начальные скорости -- ситуация классическая такая. При малых начальных скоростях И НУЛЕВОЙ СИЛЕ существование решения доказано, но на конечном времени, тем меньшем, чем больше начальная скорость,

т.е. результаты Като и Фуджиты аж 62 года прошли мимо вас...

Признаюсь, произошла аберрация.
Действительно, глобальное по времени классическое решение существует для достаточно малых сил и начальных условий.
У Като-Фиджиты это доказано, правда, для задачи в ограниченной области с нулевым граничным условием, обещано дать доказательсво для всего пространства, даже статья названа Частью Первой, но Часть Вторая так и не появилась. Недосуг искать, где именно результат для задачи во всем пространстве с малыми данными установлен.

-- Сб янв 11, 2014 23:46:21 --

Oleg Zubelevich в сообщении #813112 писал(а):

shwedka в сообщении #812604
писал(а):
Но уже не нравится:
поставлены условия периодичности давления.
вам не нравится, что он ищет решение в менее широком классе функций, чем предложено в официальной постановке института Клэя?

Да, не нравится. Если даже и доказать, что blow-up не существует в узком классе,
то нет гарантии, что он не произойдет в более широком классе.
Ведь, как известно, в том, более широком классе, единственности сильного реения периодической задачи нет!

[Oleg Zubelevich]

shwedka в сообщении #813128 писал(а):

Да, не нравится. Если даже и доказать, что blow-up не существует в узком классе,
то нет гарантии, что он не произойдет в более широком классе.

это интересно, т.е. если решение, вдобавок к требованиям интитута Клэя, обладает хорошим дополнительным свойством, то это уже не решение. Мжская логика тут бессильна

shwedka в сообщении #813128 писал(а):

Ведь, как известно, в том, более широком классе, единственности сильного реения периодической задачи нет!

как известно, сильное решение (если оно есть) единственно в классе слабых решений Serrin

-- Вс янв 12, 2014 02:32:12 --

кстати, а как вы вообще представляете себе неперодическое давление при том, что градиент давления является периодической функцией, а само давление определено с точностью до адитивной функции времени? (просто в силу самого уравнения НС)

[sup]

Вот простой пример.
$u_t + p_x = 1$
$u(0) = 0$
Возможны два решения
$u=0, p=x$
$u=t, p =0$

[shwedka]

Oleg Zubelevich в сообщении #813135 писал(а):

кстати, а как вы вообще представляете себе неперодическое давление при том, что градиент давления является периодической функцией, а само давление определено с точностью до адитивной функции времени? (просто в силу самого уравнения НС)

РЕчь идет не о периодичности по времени, а по периодичности по пространственным координатам, условие 1.3 на стр 8 Отелбаева.

В НС входит градиент давления, а не само давление. Периодичность градиента, следующая из периодичности скоростей, не влечет периодичности давления.
Последнее - дополнительное условие, которого в постановке Клэя в официальной формулировке Ч.Феффермана нет.
http://www.claymath.org/sites/default/f ... stokes.pdf
p 1, 1.8
Итак, если давление, скажем, линейная функция времени, то оно непериодично, а его градиент периодичен.
Это неприятно, до так есть.

При отказе от условия периодичности давления, теряется однозначность сильного решения. Eсть простые примеры. Правда, естественно, такие примеры не дают конечный blow-up. И примеры не у полуволнового уравнения, как у sup,
а у полного НС.

В связи с этим обстоятельством, вроде бы, видно некоторое рассогласование вопросов B,D Феффермана. Точнее, они не являются логически дополнительными. Наличие конечноживущего непериодического по давлению решения дает положительный ответ на D, в то же время, не отрицает В.

С этой точки зрения, результат Отелбаева, вроде бы, формально на вопрос В отвечает, так что я погорячилась. НУжно проверять доказательство.

Я полистала статью Отелбаева,
Пока что я не нашла того места, где доказывается существование решения с периодическим давлением. Всюду в доказательстве стоит периодический градиент, от которого максимально рано избавляются. Однако, нужно смотреть внимательно.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #813197 писал(а):

Вот простой пример.
$u_t + p_x = 1$
$u(0) = 0$
Возможны два решения
$u=0, p=x$
$u=t, p =0$

э-хе-хе
Как Вы думаете, что означает симваол $\frac{\partial}{\partial x}$ в задаче с периодическими гран. условиями?

(Оффтоп)

Вы в постановке института Клэя значек $\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$ видели? Это называется трехмерный тор. Задача с периодическими гран. условиями это задача на торе.

Сейчас объясню на вашем же примере. Введем пространство основных функций $\mathcal{D}=\{\psi(x)\in C^\infty(\mathbb{R})\mid \psi(x+1)=\psi(x)\}$ (а Вы как думали? см. также формулу (10) в постановке института Клэя )
У вас $p=x$. Считаем обобобщенную производную $p_x$. Это понятно, что $-\int_0^1x\psi'(x)dx\ne \int_0^11\cdot\psi(x)dx,\quad \psi\in\mathcal{D}$ ?

[sup]

Oleg Zubelevich
Спасибо за Ваши разъяснения. Но у меня есть пара вопросов.
1. Что такое сильное решение?
Я полагал, что это функция, которая обладает всеми нужными производными и при подстановке в уравнение получается тождество. Вы же, как я понял, считаете, что это функция, которая обладает всеми нужными производными и удовлетворяет некому интегральному тождеству.
При этом, в качестве пробных функций, Вы выбираете периодические. А ведь можно использовать и другое интегральное тождество.
Почему Ваше определение "правильное", а мое нет?
2. Я заглянул на сайт института и нашел там по поводу уравнения НС статью Феффермана. Периодичность там заказана только для $u$. Это в точности та ссылка

shwedka в сообщении #813223 писал(а):

Последнее - дополнительное условие, которого в постановке Клэя в официальной формулировке Ч.Феффермана нет.
http://www.claymath.org/sites/default/f ... stokes.pdf

Формула (10), о которой Вы говорили, это условия периодичности $u$. Соответственно вопрос. Можно ли получить ссылку на постановку с тором, о которой Вы говорили?

Поясню, я вовсе не считаю, что привел какой-то из ряда вон выходящий пример. И постановку Клэя я не рассматривал. Я всего лишь ответил на Ваш вопрос

Oleg Zubelevich в сообщении #813135 писал(а):

кстати, а как вы вообще представляете себе неперодическое давление при том, что градиент давления является периодической функцией, а само давление определено с точностью до адитивной функции времени? (просто в силу самого уравнения НС)

В примере приведено решение уравнения НС
$u = (u_1,u_2,u_3) =0$
$f = (f_1,f_2,f_3) =(1,0,0)$
$p = x$
При этом давление не периодично по $x$, а градиент - периодичен. В этом вопросе о постановке на торе или еще о чем-то вообще нет речи.

(Оффтоп)

Разумеется, все это "банальщина", но "каков вопрос, таков и ответ".

[shwedka]

НН Уральцева прокомментировала
последние события: не верю.

-- Вс янв 12, 2014 15:13:04 --

Тем, кто не хочет читать100-страничное сочинение Отелбаева,
предлагается почитать более короткое
Existence, uniqueness and smoothness of a solution for 3D Navier-Stokes equations with any smooth initial velocity
Arkadiy Tsionskiy, Mikhail Tsionskiy
Electron. J. Diff. Equ., Vol. 2013 (2013), No. 83, pp. 1-17.