функциональный анализ

[[e-mail]]

скажите, пожалуйста, как решать задачу когда дан оператор и нужно найти $\alpha$ при котором он непрерывен?
для каких $\alpha$ оператор $Т: L^3[0,1] \to L^1[0,1], (Tf)(x)=\int_{x}^{1} y^\alpha f(y^2)dy $ будет непрерывным?
Решать по определению? тогда какую последовательность взять?

[provincialka]

Что за $\alpha$? Что за оператор? На каком пространстве? Исправлено.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: неполная формулировка задачи, нет попыток решения

[e-mail]
Сформулируйте текст задания полностью.
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

[Oleg Zubelevich]

оценку надо написать $\|Tu\|_{L^1}\le c\|u\|_{L^3}$
замену переменных в интеграле делать умеете? а порядок интегрирования менять? а неравенство Гельдера знаете?

[[e-mail]]

Oleg Zubelevich в сообщении #813092 писал(а):

оценку надо написать $\|Tu\|_{L^1}\le c\|u\|_{L^3}$
замену переменных в интеграле делать умеете? а порядок интегрирования менять? а неравенство Гельдера знаете?

да,все умею.
а $ \|Tf\|_{L^1}=\int_{0}^{1}|Tf|d\mu $?
и $\|u\|_{L^3}=(\int_{0}^{1}|f|^{3}d\mu)^{1/3} $?
$(Tf)(x)$ мы знаем, а чему равно $f$?

[provincialka]

То есть как чему? Это аргумент, произвольная функция из $L^3[0;1]$.

[[e-mail]]

provincialka в сообщении #813442 писал(а):

То есть как чему? Это аргумент, произвольная функция из $L^3[0;1]$.

а равенства верные?

[provincialka]

Только откуда там $u$ во втором равенстве? Придерживайтесь каких -то одних обозначений.

[[e-mail]]

provincialka в сообщении #813703 писал(а):

Только откуда там $u$ во втором равенстве? Придерживайтесь каких -то одних обозначений.

а какую замену делать?$t=y^2$? тогда $y^\alpha$ все рано останется в интеграле...
вот что у меня получилось:
$\int_{0}^{1}(\int_{x}^{1}y^{\alpha}f(y^{2})dy)d\mu \leqslant C(\int_{0}^{1}|f|^{3}d\mu)^{1/3}$
как применить сюда неравенство Гельдера? интеграл по $d\mu$ перенести вправо?

[provincialka]

Вы не все рекомендации выполнили. Сделайте замену (избавьтесь от квадрата у $y$). Поменяйте порядок интегрирования.

-- 14.01.2014, 00:34 --

Oleg Zubelevich в сообщении #813092 писал(а):

оценку надо написать

означает, что ее надо получить некими преобразованиями, а не просто выписать.

-- 14.01.2014, 00:36 --

Oleg Zubelevich, у меня при решении возникло число $-\frac 73$, но я не уверена, решала в уме.

[[e-mail]]

замена в интеграле: $\int_{x}^{1}y^{\alpha}f(y^2)dy=\int_{x^2}^{1}\frac{1}{2}y^{\alpha -1 }f(t)dt \leqslant 1/2 \sup\int_{x^2}^{1}y^{\alpha -1}dy^2 $

меняю порядок интегрирования:
$\int_{0}^{1}d\mu\int_{x^2}^{1}\frac{1}{2}y^{\alpha -1 }f(t)dt$

и что дальше делать?

[provincialka]

1. Странная замена, частичная какая-то. Менять так менять, $y$ остаться не должно.
2. Зачем здесь неравенство?
3. Изменение порядка - вообще ни в какие ворота...

Впрочем, вам лучше дождаться автора рекомендаций. Я не уверена, чтопоняда его правильно.

-- 14.01.2014, 01:42 --

Пересчитала... Нет. Не $-\frac 73$, а $-\frac 43$. Кажется..

[Oleg Zubelevich]

по-моему так
1) сперва меняем порядок интегрирования и берем один интеграл
2) делаем замену $t=y^2$
3) применяем неравенство Гельдера

[provincialka]

Oleg Zubelevich, меня смущает последний пункт. Ведь это только оценка, уверены ли мы, что она неулучшаемая? Или это надо отдельно доказывать?
[e-mail], если $y^2=t$, то $y=t^{1/2}$. Странно: вы беретесь за функан, не умея делать простейших манипуляций с интегралом

[Oleg Zubelevich]

provincialka в сообщении #814074 писал(а):

а $-\frac 43$

аналогично коллега(с) $\alpha>-4/3$

provincialka в сообщении #814118 писал(а):

Ведь это только оценка, уверены ли мы, что она неулучшаемая? Или это надо отдельно доказывать?

доказывать, конечно надо, и для этого наверное надо брать что-то типа $f(x)=x^\lambda,\quad \alpha\to -4/3,\quad \lambda\to -1/3$