2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 функциональный анализ
Сообщение11.01.2014, 20:18 
скажите, пожалуйста, как решать задачу когда дан оператор и нужно найти $\alpha$ при котором он непрерывен?
для каких $\alpha$ оператор $Т: L^3[0,1] \to L^1[0,1], (Tf)(x)=\int_{x}^{1} y^\alpha f(y^2)dy $ будет непрерывным?
Решать по определению? тогда какую последовательность взять?

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение11.01.2014, 20:21 
Аватара пользователя
:shock: Что за $\alpha$? Что за оператор? На каком пространстве? Исправлено.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение11.01.2014, 21:26 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: неполная формулировка задачи, нет попыток решения

hrenusha@mail.ru
Сформулируйте текст задания полностью.
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение12.01.2014, 00:22 
оценку надо написать $\|Tu\|_{L^1}\le c\|u\|_{L^3}$
замену переменных в интеграле делать умеете? а порядок интегрирования менять? а неравенство Гельдера знаете?

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение12.01.2014, 19:52 
Oleg Zubelevich в сообщении #813092 писал(а):
оценку надо написать $\|Tu\|_{L^1}\le c\|u\|_{L^3}$
замену переменных в интеграле делать умеете? а порядок интегрирования менять? а неравенство Гельдера знаете?


да,все умею.
а $ \|Tf\|_{L^1}=\int_{0}^{1}|Tf|d\mu $?
и $\|u\|_{L^3}=(\int_{0}^{1}|f|^{3}d\mu)^{1/3} $?
$(Tf)(x)$ мы знаем, а чему равно $f$?

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение12.01.2014, 20:00 
Аватара пользователя
То есть как чему? Это аргумент, произвольная функция из $L^3[0;1]$.

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение13.01.2014, 10:17 
provincialka в сообщении #813442 писал(а):
То есть как чему? Это аргумент, произвольная функция из $L^3[0;1]$.

а равенства верные?

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение13.01.2014, 10:28 
Аватара пользователя
Только откуда там $u$ во втором равенстве? Придерживайтесь каких -то одних обозначений.

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение13.01.2014, 21:08 
provincialka в сообщении #813703 писал(а):
Только откуда там $u$ во втором равенстве? Придерживайтесь каких -то одних обозначений.

а какую замену делать?$t=y^2$? тогда $y^\alpha$ все рано останется в интеграле...
вот что у меня получилось:
$\int_{0}^{1}(\int_{x}^{1}y^{\alpha}f(y^{2})dy)d\mu \leqslant C(\int_{0}^{1}|f|^{3}d\mu)^{1/3}$
как применить сюда неравенство Гельдера? интеграл по $d\mu$ перенести вправо?

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение13.01.2014, 23:31 
Аватара пользователя
Вы не все рекомендации выполнили. Сделайте замену (избавьтесь от квадрата у $y$). Поменяйте порядок интегрирования.

-- 14.01.2014, 00:34 --

Oleg Zubelevich в сообщении #813092 писал(а):
оценку надо написать
означает, что ее надо получить некими преобразованиями, а не просто выписать.

-- 14.01.2014, 00:36 --

Oleg Zubelevich, у меня при решении возникло число $-\frac 73$, но я не уверена, решала в уме.

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение14.01.2014, 00:26 
замена в интеграле: $\int_{x}^{1}y^{\alpha}f(y^2)dy=\int_{x^2}^{1}\frac{1}{2}y^{\alpha -1 }f(t)dt \leqslant 1/2 \sup\int_{x^2}^{1}y^{\alpha -1}dy^2 $

меняю порядок интегрирования:
$\int_{0}^{1}d\mu\int_{x^2}^{1}\frac{1}{2}y^{\alpha -1 }f(t)dt$

и что дальше делать?

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение14.01.2014, 00:38 
Аватара пользователя
1. Странная замена, частичная какая-то. Менять так менять, $y$ остаться не должно.
2. Зачем здесь неравенство?
3. Изменение порядка - вообще ни в какие ворота...

Впрочем, вам лучше дождаться автора рекомендаций. Я не уверена, чтопоняда его правильно.

-- 14.01.2014, 01:42 --

Пересчитала... Нет. Не $-\frac 73$, а $-\frac 43$. Кажется..

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение14.01.2014, 07:03 
по-моему так
1) сперва меняем порядок интегрирования и берем один интеграл
2) делаем замену $t=y^2$
3) применяем неравенство Гельдера

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение14.01.2014, 07:19 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich, меня смущает последний пункт. Ведь это только оценка, уверены ли мы, что она неулучшаемая? Или это надо отдельно доказывать?
hrenusha@mail.ru, если $y^2=t$, то $y=t^{1/2}$. Странно: вы беретесь за функан, не умея делать простейших манипуляций с интегралом :-(

 
 
 
 Re: функциональный анализ
Сообщение14.01.2014, 07:24 
provincialka в сообщении #814074 писал(а):
а $-\frac 43$

аналогично коллега(с) $\alpha>-4/3$
Изображение

provincialka в сообщении #814118 писал(а):
Ведь это только оценка, уверены ли мы, что она неулучшаемая? Или это надо отдельно доказывать?

доказывать, конечно надо, и для этого наверное надо брать что-то типа $f(x)=x^\lambda,\quad \alpha\to -4/3,\quad \lambda\to -1/3$

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group