Образ фурье

[Felt]

Помогите разобраться, не могу понять как вычисляют образ функции $e^{iax^2}$. Эта функция не относится к пространству Шварца, соответственно вычисляют для пространства Шварца обобщённых функций. Но вот я всё же не пойму как вычисляют этот интеграл, то есть
$\int_{R} e^{iax^2+i\xi x}$ Не вижу, чтобы он сходился...

[Oleg Zubelevich]

а почему он должен сходиться?

[Felt]

а как иначе тогда найти образ фурье? В учебнике он у меня записан именно таким интегралом, а затем ответ, выглядит вот так: $\sqrt {\pi} e^{-\frac {i}{4} (\xi^2-\pi)}$

[B@R5uk]

Скорее всего этот интеграл считается средствами ТФКП: вычеты и иже с ними. Но не уверен на все сто.

-- 11.01.2014, 01:21 --

Свешников Тихонов "Теория функции комплексной переменной" Глава 5 Теория вычетов и их приложения

-- 11.01.2014, 01:26 --

Кстати, в вашем интеграле не обозначена переменная, по которой ведётся интегрирование и в ответе отсутствует параметр альфа.

-- 11.01.2014, 01:48 --

Felt в сообщении #812621 писал(а):

Не вижу, чтобы он сходился...

Кстати, если вы возьмёте действительную и мнимую части записанного вами интеграла, то получите интегралы Френеля (смещённые и отмасштабированные). А они то уж точно сходятся.

[Felt]

Пардон, действительно. Интегрируется по х. Ответ такой: $\sqrt {\pi} e^{-\frac {i}{4} (\frac{\xi^2}{a^2}-\pi)}$

Быть может я чего-то не вижу и ищется здесь образ не просто интегрированием, а средствами обощённых функций, это всё-таки обощённой функции ищут образ фурье...

[B@R5uk]

Обобщённые функции -- это вообще другая история. Здесь и подынтегральное выражение и сам интеграл вполне себе нормальные функции (аналитические даже).

Вы знаете, что такое действительная и мнимая часть числа? А про формулу Эйлера слыхали?

[Felt]

Разумеется, знаю. Я пробовал это расписать по формуле эйлера, когда получим $\sin(x^2+x)$ или то же самое для косинуса, предела в бесконечности не существует, интеграл как мне кажется существовать не будет.

Сейчас приведу как у меня это написано в учебнике. Правда, не знаю как записать значок преобразования фурье, поэтому поставлю просто букву F.
$(\operatorname F [e^{ix^2}](\xi), \varphi (\xi))=(e^{ix^2}, \operatorname F [\varphi (\xi)](x))=\int_{R} e^{ix^2} \operatorname F[\varphi(\xi)](x) dx=\lim_{N \rightarrow \infty, M \rightarrow \infty } \int_{-N}^{M} e^{ix^2} \int_{R} \varphi(\xi) e^{i \xi x} d\xi dx=\lim_{N \rightarrow \infty, M \rightarrow \infty } \int_{R} \varphi(\xi) \int_{-N}^{M} e^{ix^2+i \xi x} dx d\xi=\int_{R} \varphi(\xi) \int_{-\infty}^{\infty} e^{ix^2+i \xi x} dx d\xi=\sqrt {\pi} e^{-\frac {i}{4} \pi} \int_{R} \varphi(\xi) e^{-\frac {i}{4} \xi^2} d\xi$

Признаться, я не знаю на каких основаниях вносится предел в интеграл и вообще для чего его вводят, выше в учебнике этого не объяснили. Также говорится, что это вывод в пространстве $D(R)$, однако множество $D$ плотное в пространстве Шварца, поэтому такой вывод образа фурье действителен и для пространства Шварца

[Otta]

Felt
Вам же сказали: интеграл Френеля. Если не знаете, найдите и узнайте для себя много нового. ))
В том числе и про

Felt в сообщении #812701 писал(а):

предела в бесконечности не существует, интеграл как мне кажется существовать не будет.

Не надо тут цеплять основную (пробную) функцию, он считается, Ваш интеграл. Вот его и сосчитали.

[Felt]

Последнюю часть сообщения не увидел, потому что добавлена позже. Сейчас поищу интеграл Френеля

Всё, вижу, что считается, спасибо за Френеля!