Уравнение Пелля и подходящие дроби.

[Sonic86]

julyk, я ж говорю: все придется доказывать одновременно
Т.е. для шага индукции предполагаем, что
$P_{2k-1}^2 - 3Q_{2k-1}^2= 1$;
$P_{2k-2}^2 - 3Q_{2k-2}^2= -2$;
$P_{2k}P_{2k-1} - 3Q_{2k}Q_{2k-1} = 1;$
$P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}Q_{2k-2} = -1$.
И доказываем эти же соотношения для $k:=k+1$, сначала 2 последних, потом 2 первых.

julyk в сообщении #810323 писал(а):

Выразить пока не получилось...

Чтобы выразить $P_{2k}P_{2k-1} - 3Q_{2k}Q_{2k-1}$ через $V_{k-1}, W_{k-1}$ воспользуйтесь рекуррентными соотношениями для $P_k, Q_k$.
Для $P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}Q_{2k-2}$ аналогично.

[julyk]

Я с трудом понимаю .
Вот мысли:
С помощью рекуррентных соотношений запишем:
$P_{2k} = a_{2k}P_{2k-2} + P_{2k-4};$
$P_{2k-1} = a_{2k-1}P_{2k-3} + P_{2k-5};$
$Q_{2k} = a_{2k}Q_{2k-2} + Q_{2k-4};$
$Q_{2k-1} = a_{2k-1}P_{2k-3} + P_{2k-5}.$

Теперь запишем $V_{k-1}:$
$(a_{2k}P_{2k-2}+P_{2k-4})(a_{2k-1}P_{2k-3}+P_{2k-5}) - 3(a_{2k}Q_{2k-2}+Q_{2k-4})(a_{2k}Q_{2k-3}+Q_{2k-5}).$
Вот. Это по идее $V_k$ через выражения на индекс ниже. Правильно?
Теперь, полагаю, надо приравнять это к 1, раскрывать скобки и смотреть, что уничтожится, что чему равно? Вот только что я могу использовать? Все остальные 3 выражения?

[Sonic86]

julyk в сообщении #811774 писал(а):

Я с трудом понимаю .

Ну придется сначала правильно преобразовать $V_k, W_k$, потом станет понятнее, откуда берутся остальные предложения

julyk в сообщении #811774 писал(а):

Вот мысли:
С помощью рекуррентных соотношений запишем:
$P_{2k} = a_{2k}P_{2k-2} + P_{2k-4};$
$P_{2k-1} = a_{2k-1}P_{2k-3} + P_{2k-5};$
$Q_{2k} = a_{2k}Q_{2k-2} + Q_{2k-4};$
$Q_{2k-1} = a_{2k-1}P_{2k-3} + P_{2k-5}.$

Не, прежде всего $P_{2k-1}, Q_{2k-1}$ в $V_k$ трогать не надо - так и оставляйте. А рекуррентные соотношения записали неправильно: $2k$-ые величины выражаются через $2k-1, 2k-2$-ые величины. И $a_{2k}, a_{2k-1}$ записывайте явно.

Ну вот еще немного подскажу:
$P_{2k}P_{2k-1} - 3Q_{2k}Q_{2k-1}=P_{2k-1}(3P_{2k-1}+P_{2k-2})-3Q_{2k-1}(3Q_{2k-1}+Q_{2k-2})=...$
Преобразуйте до конца и сгруппируйте. И увидите тогда, что зачем нужно.

[julyk]

Так, я осмыслила).
Рекуррентные соотношения имеют вид:
$P_{2k}=a_{2k}P_{2k-1} + P_{2k-2};$
$Q_{2k}=a_{2k}Q_{2k-1} + Q_{2k-2}.$

Рассмотрим нечетные $k$, $a_{2k}=2$
$V_{k} = P_{2k-1}(2P_{2k-1}+P_{2k-2}) - 3Q_{2k-1}(2Q_{2k-1}+Q_{2k-2}) = 2P_{2k-1}^{2} + P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}^{2} + 3Q_{2k-1}Q_{2k-2} = 1+P_{2k-1}P_{2k-2} + 3Q_{2k-1}Q_{2k-2}.$
Что нам это дает? Пока не вижу. Единственное, это равно $W_{k}.$

Если рассматривать $W_{k}$, то из этих же рекуррентных соотношений получим (умножим на 2, а потом на (-1)):
$P_{2k-2}(\frac{P_{2k}-P_{2k-2}}{2}) - 3(\frac{Q_{2k} - Q_{2k-2}}{2})Q_{2k-2}= P_{2k}P_{2k-2}-P_{2k-2}^{2}-3Q_{2k}Q_{2k-2} + 3Q_{2k-2}^2 = P_{2k-2}^{2} + 3Q_{2k-2}{2} - P_{2k}P_{2k-2} + 3Q_{2k}Q_{2k-2} = 1 - P_{2k}P_{2k-2} + 3Q_{2k}Q_{2k-2}.$

Т.е. если умножить значение $W_{k} = 1$ на (-1) и на 2, то получаем верное равенство. Вот. Что с этим делать?

[Sonic86]

julyk в сообщении #812601 писал(а):

Рассмотрим нечетные $k$, $a_{2k}=2$
$V_{k} = P_{2k-1}(2P_{2k-1}+P_{2k-2}) - 3Q_{2k-1}(2Q_{2k-1}+Q_{2k-2}) = 2P_{2k-1}^{2} + P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}^{2} + 3Q_{2k-1}Q_{2k-2} = 1+P_{2k-1}P_{2k-2} + 3Q_{2k-1}Q_{2k-2}.$
Что нам это дает? Пока не вижу. Единственное, это равно $W_{k}.$

Ага, правильно. А я, оказывается, еще чуть-чуть наврал: у нас $V_{k}$ выражается через $W_{k}$, а $W_{k}$ - через $V_{k-1}$. Но все равно индукцию можно вести. Т.е. Вам надо было с $W_{k}$ начинать...
И Вы неявно использовали другое предположение индукции, что $P_{2k-1}^2-3Q_{2k-1}^2=1$ (между прочим, Вы еще и множитель $2$ потеряли) - это Вам нужно будет писать. Ну и для простоты лучше говорить одновременно в одном месте, что Вы используете оба предположения индукции.

Давайте заново:
Пусть база индукции проверена.
Предполагаем, что
$P_{2k-1}^2 - 3Q_{2k-1}^2= 1$;
$P_{2k-2}^2 - 3Q_{2k-2}^2= -2$;
$P_{2k-2}P_{2k-3} - 3Q_{2k-2}Q_{2k-3} = 1;$
$P_{2k-3}P_{2k-4} - 3Q_{2k-3}Q_{2k-4} = -1$.
Будем доказывать, что
$P_{2k+1}^2 - 3Q_{2k+1}^2= 1$;
$P_{2k}^2 - 3Q_{2k}^2= -2$;
$P_{2k}P_{2k-1} - 3Q_{2k}Q_{2k-1} = 1;$
$P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}Q_{2k-2} = -1$.
(я индексы сместил, а то у меня несогласованно выходит - так можно: что хочу, то и доказываю)
Сначала доказываем последние 2:
4-е:
Так как
$P_{2k-1}=P_{2k-2}+P_{2k-3}$
$Q_{2k-1}=P_{2k-2}+P_{2k-3}$
то
$P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}Q_{2k-2} =(P_{2k-2}^2-3Q_{2k-2}^2)+(P_{2k-2}P_{2k-3} - 3Q_{2k-2}Q_{2k-3})$
по предположению индукции имеем:
$P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}Q_{2k-2}=-2\cdot 1+1=-1$ - доказали
Теперь аналогично доказывайте 3-е соотношение. Аналогично - значит берете старшие члены $P_{2k}, Q_{2k}$ и расписываете их через предыдущие члены. У Вас $P_{2k}P_{2k-1} - 3Q_{2k}Q_{2k-1}$ выразится через $P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}Q_{2k-2}$, которое мы только что нашли.
Вот 3,4-е доказали. Теперь доказываем 1,2-е. Ну тут просто смотрим, как мы это делали выше + у нас появляется недостающие слагаемые: $P_{2k}P_{2k-1} - 3Q_{2k}Q_{2k-1}$ и $P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}Q_{2k-2}$.
Пробуйте. Уже конец, осталось только собрать все в кучу.

upd: че-то возникло ощущение, что я фигней занимаюсь: надо было доказывать 2 соотношения, а не 4, а $a_k$-ые не подставлять сразу, а подставлять в конце - получилось бы чуть более чем в 2 раза короче.

[julyk]

Так, вот доказательство 3го:
Так как $P_{2k} = 2P_{2k-1} + P_{2k-2};$
$Q_{2k}=2Q_{2k-1}+Q_{2k-2};$
$P_{2k-1}(2P_{2k-1}+P_{2k-2})-3Q_{2k-1}(2Q_{2k-1}+Q_{2k-2})=2P_{2k-1}^2 + P_{2k-1}P_{2k-2} - 6Q_{2k-1}^2 - 3Q_{2k-2}= P_{2k-1}P_{2k-2}-3Q_{2k-1}Q_{2k-2} + 2(P_{2k-1}^2 - 3Q_{2k-q}^2) = 1.$


Теперь вспоминаем решение уравнения из поста 1, получаем $1=1$ - верное равенство. Это получается мы доказали для нечетных индексов?
А теперь попробую расписать второй случай.
$P_{2k}^2 - 3Q_{2k}^2 = -2;$
$(2P_{2k-1}+P_{2k-2})^2 - 3(2Q_{2k-1}+Q_{2k-2})^2=-2;$
$4P_{2k-1}^2+4P_{2k-1}P_{2k-2}+P_{2k-2}^2-12Q_{2k-1}^2-12Q_{2k-1}Q_{2k-2}-3Q_{2k-2}^2 = -2;$
$4+4(P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}Q_{2k-2}) - 2 = -2;$
$4(P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}Q_{2k-2}) = -4;$
$P_{2k-1}P_{2k-2} - 3Q_{2k-1}Q_{2k-2} = -1$ - верно.
Вот вроде как-то так).