Что значит неопределенность функции?

[provincialka]

Pineapple в сообщении #811640 писал(а):

А ниже производная по $x^2$
$ \dfrac{dy}{dx^2}$ ?

И может ли встретится такое?
$ \dfrac{d^2 y}{dx}$

Обе записи неверные.
Кстати, в обозначении дифференциалов есть некоторое отступление от стандарта. Например, выражение $ax^2$ означает, что в квадрат возводится только $x$. А если надо возвести и $a$, то пишут скобки, $(ax)^2$. Но выражение $dx$ - это единый символ, так что квадрат относится к нему всему: $dx^2 = (dx)^2$, но $d(x^2) = 2xdx$.

[Pineapple]

provincialka
Ну а такое?
$ \dfrac{d^2 y}{d^2x}$

[Nemiroff]

Pineapple в сообщении #811648 писал(а):

Ну а такое?
$ \dfrac{d^2 y}{d^2x}$

Кошмар и ужас.
Чтобы было не кошмар и ужас, нужно применять $\dfrac{d}{dx}$ (или то же самое с другой буквой вместо $x$ внизу) к чему угодно сколько угодно раз.

[provincialka]

Pineapple в сообщении #811648 писал(а):

Ну а такое?
$ \dfrac{d^2 y}{d^2x}$

Тоже неверно. Обычно через $d^2y$ обозначается второй дифференциал. Если $x$ - независимая переменная, то ее второй дифференциал равен 0, а на 0 делить нельзя. Если же $x,y$ зависят еще от какого-нибудь $t$, то в принципе можно поделить друг на друга вторые дифференциалы, вот только зачем? Что-то мне такие задачи не встречались. Хотя... все можно придумать, если постараться.

[Ms-dos4]

Pineapple
$\[\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\]$ - вообще говоря цельный символ оператора дифференцирования, просто его обозначение, и его нельзя разбивать на части. То, что в случае с первыми производными вы можете представлять их как отношения приращений (Лейбницевское представление) ещё ничего не значит - да, вы получите верный результат, но например для частных производных $\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\]$ - это строго единый символ.
P.S.Так что ответ на ваш вопрос - такого встретиться не может.

[Pineapple]

$\dfrac{d^2y}{dx^2}$
А что в этой формуле показывает $dx^2$?
И может кто-нибудь знает где почитать про эти обозначения?

[popolznev]

Pineapple в сообщении #811854 писал(а):

И может кто-нибудь знает где почитать про эти обозначения?

В учебнике Г. М. Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления".

-- 09.01.2014, 15:42 --

Ms-dos4 в сообщении #811654 писал(а):

$\[\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\]$ - вообще говоря цельный символ оператора дифференцирования

Не цельный :) Это $n$-я степень оператора $\frac{d}{dx}$ (вот этот цельный).

[SpBTimes]

Вы знаете, откуда это берется?
Сначала вводится понятие дифференцируемой функции. Функция $f: E \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой в точке $x_0 \in E$, предельной для $E$, если выполнено:

$$ f(x_0 + h) - f(x_0) = Ah + o(h), $$

где $o(h) \to 0$ при $h \to 0$.
Линейное по $h$ выражение $Ah$ называют дифференциалом функции $f$ и обозначают $df := Ah$. Так как число $A$ может зависеть от $x_0$, а $df$ зависит от $h$, точнее всего писать так: $df(x)(h) = A(x)h$.
Давайте попробуем вычислить дифференциал независимой переменной, или функции $f(x) = x$. Чисто алгебраически:

$$ x_0 + h - x_0 = h, $$

причем, воспевая к определению и обозначению дифференциала, мы получим $dx(h) = h$. То есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Тем самым получаем запись

$$ df(x)(h) = A(x)dx(h). $$

Легко доказать, что $A(x) = f'(x)$.
Что дальше? Вводят такой символ, как бы деля на $dx(h)$, получая $\frac{df(x)(h)}{dx(h)} = f'(x)$.
Так как можно записать $df(x) = f'(x) dx$, понимая равенство, как равенство функций от $h$, всё переписывается проще: $\frac{df(x)}{dx} = f'(x)$.
Мы получили так называемый оператор, который записывается, как $\frac{d}{dx}$, и сопоставляет "хорошей" функции $f(x)$ её производную.

Попробуйте найти теперь второй дифференциал функции $f(x)$, считая $x$ независимой переменной.

[popolznev]

SpBTimes в сообщении #811888 писал(а):

воспевая к определению и обозначению дифференциала

Красота какая!

[SpBTimes]

(Оффтоп)

popolznev