2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 00:46 
Аватара пользователя
Pineapple в сообщении #811640 писал(а):
А ниже производная по $x^2$
$ \dfrac{dy}{dx^2}$ ?

И может ли встретится такое?
$ \dfrac{d^2 y}{dx}$
Обе записи неверные.
Кстати, в обозначении дифференциалов есть некоторое отступление от стандарта. Например, выражение $ax^2$ означает, что в квадрат возводится только $x$. А если надо возвести и $a$, то пишут скобки, $(ax)^2$. Но выражение $dx$ - это единый символ, так что квадрат относится к нему всему: $dx^2 = (dx)^2$, но $d(x^2) = 2xdx$.

 
 
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 00:53 
provincialka
Ну а такое?
$ \dfrac{d^2 y}{d^2x}$

 
 
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 00:56 
Pineapple в сообщении #811648 писал(а):
Ну а такое?
$ \dfrac{d^2 y}{d^2x}$

Кошмар и ужас.
Чтобы было не кошмар и ужас, нужно применять $\dfrac{d}{dx}$ (или то же самое с другой буквой вместо $x$ внизу) к чему угодно сколько угодно раз.

 
 
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 00:57 
Аватара пользователя
Pineapple в сообщении #811648 писал(а):
Ну а такое?
$ \dfrac{d^2 y}{d^2x}$
Тоже неверно. Обычно через $d^2y$ обозначается второй дифференциал. Если $x$ - независимая переменная, то ее второй дифференциал равен 0, а на 0 делить нельзя. Если же $x,y$ зависят еще от какого-нибудь $t$, то в принципе можно поделить друг на друга вторые дифференциалы, вот только зачем? Что-то мне такие задачи не встречались. Хотя... все можно придумать, если постараться.

 
 
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 01:00 
Pineapple
$\[\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\]$ - вообще говоря цельный символ оператора дифференцирования, просто его обозначение, и его нельзя разбивать на части. То, что в случае с первыми производными вы можете представлять их как отношения приращений (Лейбницевское представление) ещё ничего не значит - да, вы получите верный результат, но например для частных производных $\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\]$ - это строго единый символ.
P.S.Так что ответ на ваш вопрос - такого встретиться не может.

 
 
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 14:06 
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$
А что в этой формуле показывает $dx^2$?
И может кто-нибудь знает где почитать про эти обозначения?

 
 
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 14:41 
Аватара пользователя
Pineapple в сообщении #811854 писал(а):
И может кто-нибудь знает где почитать про эти обозначения?
В учебнике Г. М. Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления".

-- 09.01.2014, 15:42 --

Ms-dos4 в сообщении #811654 писал(а):
$\[\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\]$ - вообще говоря цельный символ оператора дифференцирования
Не цельный :) Это $n$-я степень оператора $\frac{d}{dx}$ (вот этот цельный).

 
 
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 14:52 
Аватара пользователя
Вы знаете, откуда это берется?
Сначала вводится понятие дифференцируемой функции. Функция $f: E \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой в точке $x_0 \in E$, предельной для $E$, если выполнено:
$$
f(x_0 + h) - f(x_0) = Ah + o(h),
$$
где $o(h) \to 0$ при $h \to 0$.
Линейное по $h$ выражение $Ah$ называют дифференциалом функции $f$ и обозначают $df := Ah$. Так как число $A$ может зависеть от $x_0$, а $df$ зависит от $h$, точнее всего писать так: $df(x)(h) = A(x)h$.
Давайте попробуем вычислить дифференциал независимой переменной, или функции $f(x) = x$. Чисто алгебраически:
$$
x_0 + h - x_0 = h,
$$
причем, воспевая к определению и обозначению дифференциала, мы получим $dx(h) = h$. То есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Тем самым получаем запись
$$
df(x)(h) = A(x)dx(h).
$$
Легко доказать, что $A(x) = f'(x)$.
Что дальше? Вводят такой символ, как бы деля на $dx(h)$, получая $\frac{df(x)(h)}{dx(h)} = f'(x)$.
Так как можно записать $df(x) = f'(x) dx$, понимая равенство, как равенство функций от $h$, всё переписывается проще: $\frac{df(x)}{dx} = f'(x)$.
Мы получили так называемый оператор, который записывается, как $\frac{d}{dx}$, и сопоставляет "хорошей" функции $f(x)$ её производную.

Попробуйте найти теперь второй дифференциал функции $f(x)$, считая $x$ независимой переменной.

 
 
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 14:59 
Аватара пользователя
SpBTimes в сообщении #811888 писал(а):
воспевая к определению и обозначению дифференциала
Красота какая!

 
 
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 15:22 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

popolznev
:roll:

 
 
 [ Сообщений: 145 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group