Как упростить выражение? (Ряды)

[Imaginarium]

Здравствуйте.
У меня есть задача - упростить некое выражение, представляющее собой сумму рядов. Известен и ответ, нужно к нему перейти. Это задача из конспекта, к сожалению, приведена только в качестве примера, никаких объяснений не давалось, а разобраться очень надо.

Вот выражение:
$\sum^{\infty}_{k=0} {[k(t_1 + t_2)+t_1](1-p_1)^k p_2^k p_1}+ \\ +\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)+t_1]C_{k-1+l}^l(1-p_1)^k p_2^k (1-p_2)^lp_3^lp_1 + \\ +\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)+t_1+t_2+t_3+t_4]C_{k+l}^l (1-p_1)^k p_2^k (1-p_2)^l p_3^l\times \\ \times (1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)$

Здесь только два индекса суммирования: $k , l$ , все остальные обозначения - $t_i , p_j$ - это просто константы. Их при суммировании, разумеется, не учитываем, но я оставил их в выражении ради сохранения первозданного вида задачи.

Это же выражение после искомого упрощения:
$\frac{t_1[1-(1-p_2)p_3]+t_2(1-p_1)+t_2(1-p_1)(1-p_2)+t_4(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)}{1-(1-p_1)p_2-(1-p_2)p_3}$

Что понятно:
- что первое слагаемое представляет собой сумму геометрической прогрессии;
- что остальные два слагаемых, похоже, также являются какими-то геометрическими прогрессиями;

В чем трудность:
- очень, очень сильно мешают биномиальные коэффициенты - причем я выражаю первый из них через второй (ну, там домножить на дробь), и это мне никак не помогает.
Я в упор не вижу какого-то нюанса, пожалуйста, помогите с упрощением.

Если это кому-то интересно, то это выражение для оценки длительности работы алгоритма, представленного некой блок-схемой с учетом всех равновероятных способов пройти по условным переходам и циклам...


Спасибо большое, всех с праздниками

[provincialka]

Вопросы по записи суммы.
1. Во втором слагаемом после биномиального коэффициента стоит еще какое-то "повисшее" $k$. Это опечатка? Или эта степень должна к следующему сомножителю относиться?
2. Зачем вам писать все эти сложные выражения, которые являются константами и которые можно вынести за знак суммы. Сделайте это, выражения станут прозрачнее.

[Imaginarium]

provincialka в сообщении #811592 писал(а):

Вопросы по записи суммы.
1. Во втором слагаемом после биномиального коэффициента стоит еще какое-то "повисшее" $k$. Это опечатка? Или эта степень должна к следующему сомножителю относиться?

Спасибо за ответ, исправил

Вот новый вид формулы:

$\sum^{\infty}_{k=0} {[k(t_1 + t_2)](1-p_1)^k p_2^k }+ \\ +\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k-1+l}^l(1-p_1)^k p_2^k (1-p_2)^lp_3^l + \\ +\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k+l}^l (1-p_1)^k p_2^k (1-p_2)^l p_3^l$

[provincialka]

Попробую переписать это выражение по-другому, а вы скажите, верно ли (а то вдруг где-то - у вас или у меня - опечатки)

$A\sum^{\infty}_{k=0} {q^k}+B\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}C_{k+l-1}^lq^k r^l + D\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}C_{k+l}^l q^k r^l$,

где обозначено
$A = [k(t_1 + t_2)+t_1]p_1, B = [k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)+t_1]p_1$ $D=[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)+t_1+t_2+t_3+t_4]\times (1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)$
и
$q=(1-p_1)p_2, r=(1-p_2)p_3$

Вам не кажется, что здесь появилось что-то вроде бинома?

-- 09.01.2014, 00:41 --

Так, вижу, формулы у вас сильно изменились. Впрочем, это отразится только на виде коэффициентов $A,B,D$

-- 09.01.2014, 00:48 --

Ой, нет, $k,l$ у вас и в коэффициентах... Тогда и первая сумма - не геометрическая прогрессия. Но вот ввести $q,r$ все же полезно.

[Imaginarium]

Так, я понимаю, что Вы пишете, я пытался своими исправлениями добиться примерно того же.
И да, я вижу нечто вроде бинома, но что это дает? Здесь биномиальные коэффициенты содержат индексы суммирования, я не знаю как с этим поступить.
Кстати да, нельзя просто выкинуть полностью все выражения под суммой, там индексы суммирования выступают в качестве коэффициентов, меньше чем вышло у меня уже не упростить.

Первая сумма- геометрическая прогрессия, т.к. можно через производные получить этот коэффициент $k$

[provincialka]

Еще одна попытка
$A\sum\limits{^{\infty}_{k=0}} {kq^k}+A\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}kC_{k+l-1}^lq^k r^l +B\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}lC_{k+l-1}^lq^k r^l+\\ + A\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}kC_{k+l}^l q^k r^l + B\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}lC_{k+l}^l q^k r^l$,

где обозначено
$A = (t_1 + t_2), B = (t_2+t_3)$
и
$q=(1-p_1)p_2, r=(1-p_2)p_3$

[Otta]

Известна производящая функция

$$\sum_{k,n} C^k_{n+k} x^ky^n =\frac 1{1-x-y}$$

Можете это доказать (если будет желание/необходимость), но сперва попробуйте воспользоваться для вычисления.

Скорее всего, Вам ее просто давали, раз в этом месте все сжато и без обоснований.

[provincialka]

Вот подсказка. Поменяем порядок суммирования в выражении $\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}C_{k+l}^l q^k r^l$ (пока без множителя $k$).
Сгруппируем сначала те слагаемые, у которых $k+l=n$ - константа. Сумма примет вид $\sum^{\infty}_{n=0}\sum^{n}_{k=0}C_{n}^l q^k r^{n-k}$

Ага, уже Otta это сделала. Теперь еще надо как-то множитель $k$ вставить.

[Otta]

Да вроде там не должно быть проблем. В число сочетаний втащить и лишнюю степень вынести.

[provincialka]

Otta, у вас - точно не будет проблем!

[Otta]

(Оффтоп)

Ну лааана Вам, скушно мне.

[provincialka]

(Оффтоп)

А спать лечь не пробовали? Не знаю как (где) у вас, а у нас уже второй час ночи.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #811618 писал(а):

$А спать лечь не пробовали? Не знаю как (где) у вас, а у нас уже второй час ночи.$

Класс! Почти стеганография.

[provincialka]

Nemiroff, спасибо. Вместо тега оффтоп по привычке поставила math

(Оффтоп)

А у вас в подписи - тоже стеганография? То есть мы не подозреваем, что там что-то зашифровано ?

[Imaginarium]

provincialka в сообщении #811611 писал(а):

Ага, уже Otta это сделала. Теперь еще надо как-то множитель $k$ вставить.

Ну как: надо взять производную от геометрической прогрессии, множитель выйдет вперед.