Как упростить выражение? (Ряды)

[Otta]

Исправила, спасибо.

(Оффтоп)

Копипаста. Степень икса продублировалась.

[Imaginarium]

Кажется, сообразил с приведением подобных, завтра обязательно подробно напишу что и как получилось, заранее прошу Вас взглянуть снова.

(Оффтоп)

Очень благодарен Вам за помощь и терпение. И Вы опять правы- пора спать, надеюсь, что Вы высыпаетесь. Я через полтора часа должен был быть в университете, но наверное, посплю еще час

[Otta]

(Оффтоп)

Imaginarium в сообщении #812348 писал(а):

Я через полтора часа должен был быть в университете, но наверное, посплю еще час

[Imaginarium]

(Оффтоп)

Hard life, hard work, rock'n roll, ora et labora, и т.д., а еще экзамен в понедельник, потому так и гоню лошадей)
Надеюсь, завтра опять удастся стащить ключ от аудитории и с товарищами засесть там часов на 10, поспорить и порешать задачки, как обычно

[Imaginarium]

Скажите пожалуйста, а 3-е слагаемое у меня правильно вычислено, получается?
Меня вообще очень смущают эти вторые степени в знаменателях, если честно... не представляю пока куда они уйдут.

[Otta]

Правильно. Если дальше не ошибетесь, вторые степени вполне себе мило сократятся.

[Imaginarium]

...там появляются неимоверно длинные выражения, когда раскрываешь скобки. Вы как-то группировали их, но я не понял пока как.

-- 11.01.2014, 01:30 --

Otta в сообщении #812328 писал(а):

Получится что-то типа $p_1(\Delta_1+\Delta_3)+(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)(\Delta_4+\Delta_6)$, например. Это в моих обозначениях был коэффициент при $t_1$, если не ошибаюсь.

Вот как Вы поступили с этим выражением при $t_1$? Вы раскрывали здесь скобки полностью? Я только что раскрыл для всех скобок для всех сумм, это выглядит страшно. Наверное, я как-то усложнил себе жизнь. Однако похожее на Ваше выражение, точнее, практически оно, с точностью до номера дельты (у меня свои).

Группирую все при $t_2$ - длинная вереница несокращаемых слагаемых, пытаюсь сгруппировать среди них, тоже очень длинно (все длинные цепи получаются из-за $(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)$), но тоже ничего не вижу...

[Otta]

Не, полностью не надо. При $t_2$ посчитайте коэффициент, если все правильно, то там все очень хорошо собирается. Раскрывать скобки, конечно, надо только если без этого никак.

Imaginarium в сообщении #812668 писал(а):

Вот как Вы поступили с этим выражением при $t_1$?

Я же Вам говорила, не вздумайте начать с $t_1$.

[Imaginarium]

Otta в сообщении #812681 писал(а):

Я же Вам говорила, не вздумайте начать с $t_1$.

Я начал с $t_2$, я не мазохист), я же вижу, что от этих $t_1$ в глазах рябит)

-- 11.01.2014, 01:45 --

Я не стал раскрывать дельты, но тройное произведение раскрыл, а также $A$ и $B$, но чего-то там не сворачивается...

[Otta]

Коэффициент при $t_2$:
$p_1(\Delta_1+\Delta_2)+(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)(\Delta_4+\Delta_5+\Delta_6)$, в ранее упомянутых обозначениях, шестая дельта - собссно, сама производящая функция.
Считаем вторую скобку:

$$\Delta_4+\Delta_5+\Delta_6=\frac{x}{(1-x-y)^2}+\frac{y}{(1-x-y)^2}+\frac{1}{1-x-y}=\frac{1}{(1-x-y)^2}$$

Здесь $x=(1-p_1)p_2\;$, $y=(1-p_2)p_3$.
Считаем первую скобку

$$\Delta_1+\Delta_2=\frac{x(1-y)}{(1-x-y)^2}+\frac{xy}{(1-x-y)^2}=\frac{x}{(1-x-y)^2}$$

Считаем весь коэффициент, вернее, его числитель после приведения к общему знаменателю ${(1-x-y)^2}$.
Числитель равен
$p_1x+(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)=p_1(1-p_1)p_2++(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)=\\(1-p_1)\bigl(p_1p_2+(1-p_2)(1-p_3)\bigr)=(1-p_1)\bigl(1-p_2-p_3+p_1p_2+p_2p_3\bigr)=\\(1-p_1)(1-x-y)$

Все, с остальными сами разбирайтесь.

[Imaginarium]

Вопрос:

Otta в сообщении #812165 писал(а):

Мы, таким образом, имеем сумму

$$\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}[(k+1)(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k+l}^lx^{k+1}y^l +\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k+l}^l x^k y^l$$

.

Мне кажется, что здесь в Вашем выражении не хватает $(k+1)$ и $(l+1)$:

$$\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}[(k+1)(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k+l}^lx^{k+1}y^l +\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}[(k+1)(t_1+t_2)+(l+1)(t_2+t_3)]C_{k+l}^l x^k y^l$
- ради $t_1+t_2+t_3+t_4$

Я спрашиваю, потому что у меня все не так, не получились коэффициенты при $t_i$ и пошел обратно вверх по рассуждениям.

(Оффтоп)

Большое спасибо Вам за помощь, я узнал очень много нового, жаль, что работа не вышла, но я очень высоко ценю Ваши усилия. Спасибо еще раз. Я хочу потом еще разобраться с задачей, а сейчас я все же не успел ее сделать к сдаче, к сожалению

[Otta]

Imaginarium в сообщении #812718 писал(а):

ради $t_1+t_2+t_3+t_4$

Нет нужды их группировать внутри суммы, посчитать отдельно, получится эта сумма $t_k$ на Вашу производящую. Но можно и сгруппировать. На усмотрение. Я не группировала здесь.

Я Вам этот коэффициент написала только ради того, чтобы у Вас была возможность отследить Ваши ошибки и неиспользованные ресурсы.

Коэффициенты на первый взгляд могут и не совпадать, но каждый из них есть сумма вида $p_1$ на сумму дельт + $(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)$ на сумму дельт. Дельты у Вас могут быть и другими, но значения этих их сумм не зависят от произвола в их выборе.