Как упростить выражение? (Ряды)

[Otta]

Imaginarium в сообщении #811692 писал(а):

$$\sum _{k,l} C _{k+l-1} ^l q^k r^l = q\sum _{k,l} C _{k+l-1} ^l q^{k-1}r^l = \frac {q}{(q-1+r)^2}$$

Нет, давайте все-таки расставим пределы суммирования. Откуда эта сумма взялась - совсем непонятно.

[Imaginarium]

Otta в сообщении #811695 писал(а):

Imaginarium в сообщении #811692 писал(а):

$$\sum _{k,l} C _{k+l-1} ^l q^k r^l = q\sum _{k,l} C _{k+l-1} ^l q^{k-1}r^l = \frac {q}{(q-1+r)^2}$$

Нет, давайте все-таки расставим пределы суммирования. Откуда эта сумма взялась - совсем непонятно.

Я тоже вдруг подумал, что все делаю совсем неправильно и совершенно не обратил внимание на пределы суммирования. В своем предыдущем посте исправил так, как я понял.
В случае с нижним пределом в нуле у сумм получается в точности Ваша производящая, кажется. Самое слабое место в моих рассуждениях - это с суммами от единицы.

[Otta]

Imaginarium в сообщении #811692 писал(а):

- так можно?

Нет, конечно. Вы часть слагаемых, по сути, выбрасывате. Все-таки смените индекс суммирования.
Причем если объединить первую исходную сумму со второй (в части, содержащей множитель $k$), будет гораздо проще.

(Оффтоп)

А вот скажите, Вы, как я понимаю, считаете матожидание. Может, в исходной постановке все выглядит гораздо прозрачнее? Как она, вкратце, выглядит? Как я понимаю, что-то переключается с первого на второй канал и обратно, пока, наконец, первый не освободится... ??

Давайте я еще раз Вам тот кусочек со сменой индекса для образца положу:

$$\sum _{k=1}^\infty\sum_{l=0}^\infty C _{k+l-1} ^l q^k r^l $$

Меняем $k$ на единицу меньший, чтобы больше походило на нашу сумму. Положим $m=k-1$.
Получаем

$$\sum _{m=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty C _{m+l} ^l q^{m+1} r^l .$$

[Imaginarium]

Otta в сообщении #811697 писал(а):

Imaginarium в сообщении #811692 писал(а):

- так можно?

Нет, конечно. Вы часть слагаемых, по сути, выбрасывате. Все-таки смените индекс суммирования.
Причем если объединить первую исходную сумму со второй (в части, содержащей множитель $k$), будет гораздо проще.

Давайте я еще раз Вам тот кусочек со сменой индекса для образца положу:

$$\sum _{k=1}^\infty\sum_{l=0}^\infty C _{k+l-1} ^l q^k r^l $$

Меняем $k$ на единицу меньший, чтобы больше походило на нашу сумму. Положим $m=k-1$.
Получаем

$$\sum _{m=0}^\infty\sum_{l=0}^\infty C _{m+l} ^l q^{m+1} r^l .$$

Я не очень понял - а какие суммы объединить?
У меня ведь нет двойных сумм с нижними пределами и от 0 и от 1.

(Оффтоп)

Ох, там все очень туманно: у меня предмет есть по моделированию вычислительных систем, и на одной из первых пар в минувшем семестре нам привели в качестве иллюстрации блок-схему простенького алгоритма слежения за целью, в нем всего 1 цикл со счетчиком и 1 условный переход. Там же, было без вывода, без комментариев, приведено некое выражение - ну, мое исходное, в котором оценивается время работы этого алгоритма при известных временах выполнения каждого оператора. Сказано также, что это громоздокое выражение и есть его более простая форма - приведенный мной результат упрощения. Биномиальные коэффициенты в исходной записи - потому что к значению случайной величины можно придти многими путями. Это интуитивно ясно, но никаких вводных вычислений не приводилось. И больше мы к этой иллюстрации не возвращались, а я очень хочу разобраться, мне еще экзамен сдавать

[Otta]

Imaginarium в сообщении #811594 писал(а):

$\sum^{\infty}_{k=0} {[k(t_1 + t_2)](1-p_1)^k p_2^k }+ \\ +\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k-1+l}^l(1-p_1)^k p_2^k (1-p_2)^lp_3^l + \\ +\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k+l}^l (1-p_1)^k p_2^k (1-p_2)^l p_3^l$

$\sum^{\infty}_{k=0} kx^k+ \sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}kC_{k-1+l}^lx^ky^l=\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=0}kC_{k-1+l}^lx^ky^l=\ldots$
и меняем индексы.

(Оффтоп)

А еще лучше спать идем. Судя по ответу, должно существовать совершенно прозрачное решение, но в это время суток его трудно увидеть.

[Imaginarium]

Здравствуйте, я, кажется, смог убрать все суммы, то есть их все упростить, но мне нужно немного времени, чтобы ввести их сюда. У меня, к сожалению, не получилось получить именно то, что указано в "ответе", поэтому снова обращаюсь к Вам за советом, может, я где-то сделал ошибку.

[Otta]

Посчитала. Сошлось.

Imaginarium в сообщении #811594 писал(а):

$\sum^{\infty}_{k=0} {[k(t_1 + t_2)](1-p_1)^k p_2^k }+ \\+\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k-1+l}^l(1-p_1)^k p_2^k (1-p_2)^lp_3^l + \\+\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k+l}^l (1-p_1)^k p_2^k (1-p_2)^l p_3^l$

Мы, таким образом, имеем сумму

$$\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}[(k+1)(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k+l}^lx^{k+1}y^l +\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)]C_{k+l}^l x^k y^l$$

для вычисления которой нужно выяснить значения
$\Delta_1=\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}(k+1)C_{k+l}^lx^{k+1} y^l $,
$\Delta_2=\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}lC_{k+l}^lx^{k+1} y^l $
$\Delta_3=\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}C_{k+l}^lx^{k+1}y^l $
и
$\Delta_4=\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}kC_{k+l}^lx^{k} y^l $,
$\Delta_5=\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}lC_{k+l}^lx^{k} y^l $,
легко получаемые из предыдущих (или наоборот). Запишите, какими они у Вас вышли (только ответы), если есть необходимость найти ошибку.

[Imaginarium]

Напишу все подробно, уж больно много времени потратил на все, и тем не менее, не сошлось с ответом, и я не знаю где ошибся.


Во-первых, у меня получилось 7 слагаемых, а не 5. Почему-то я не обратил внимание на это в самом начале, когда мне предложили упростить выражение, и потерялось еще 2 слагаемых.

Сразу после исходного выражения получаем следующее:

$\\t_1 + p_1\sum^{\infty}_{k=0}[k(t_1+t_2)+t_1](1-p_1)^kp_2^k + \\ + t_1 + p_1 \sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1} [k(t_1+t_2) + l(t_2+t_3)] C_{k+l-1}^l (1-p_1)^k p_2^k(1-p_2)^lp_3^l + \\ + t_1 + p_1 \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0} [k(t_1+t_2) + l(t_2+t_3)] C_{k+l-1}^l (1-p_1)^k p_2^k(1-p_2)^lp_3^l + \\ + t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + (1-p_1)(1-p_2)(1-p_3) \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0} [k(t_1+t_2) + l(t_2+\\+t_3)] C_{k+l-1}^l (1-p_1)^k p_2^k(1-p_2)^lp_3^l = $

Делаем замену:

$\\A = (t_1 + t_2) \\ B = (t_2 + t_3) \\ q = (1-p_1)p_2 \\ r = (1-p_2)p_3 $

С ее учетом:

$t_1 + p_1A \sum^{\infty}_{k=0} kq^k + \\ + t_1 + p_1A\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}kC_{k+l-1}^l q^k r^l +\\ + t_1 + p_1B\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}lC_{k+l-1}^l q^k r^l + \\ + t_1 + p_1A\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}kC_{k+l-1}^l q^k r^l + \\ + t_1 + p_1B\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}lC_{k+l-1}^l q^k r^l +\\ + t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + (1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)A\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}kC_{k+l}^l q^k r^l + \\ + t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + (1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)B\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}lC_{k+l}^l q^k r^l $

Запомним, что к конечному результату надо будет прибавить
$ 6t_1 + t_2 + t_3 + t_4$, что нужно будет первые пять слагаемых домножить на $p_1$, что последние два слагаемых нужно домножить на $(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)$ и теперь будем писать дальше без всего этого обрамления.

У меня теперь есть вывод производящей функции, поэтому смело ей можем пользоваться. Также есть еще один важный вспомогательный результат: вчера ночью, мы с Вами говорили о пределах сумм и я себе позволил некоторую небрежность, заменив в выражении Вашей производящей функции нижние пределы с 0 на 1. Вы справедливо заметили, что я таким образом выкидываю некоторое число слагаемых, но, как оказалось, что то, что выкидывается, остается константой в скобках при дифференцировании по $q$, и также по $r$, что делает мое допущение действительным.
Ниже, в выражении для 3-го слагаемого я сделаю подробное доказательство. Итак, слагаемые, по порядку, без учета коэффициентов $A, B$:

Слагаемое 1: $\sum^{\infty}_{k=0} kq^k = \frac {q}{(q-1)^2}$

Слагаемое 2: $\sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{l=1} kC_{k+l-1}^l q^k r^l = q\sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{l=1} C_{k+l-1}^l (q^k)'_q r^l = q\left(\frac {1}{1-q-r} \right)'_q $

Слагаемое 3:
$\\ \sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1} lC_{k+l-1}^l q^k r^l = qr \sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1} C_{k+l-1}^l q^{k-1}(l r^{l-1}) = \\ = qr \left(\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1} C_{k+l-1}^l q^{k-1}r^l \right)'_r = qr \left( \frac{1}{1-q-r} - \sum_{k=1}^\infty C_{k-1}^0 q^{k-1}r^0 \right)'_r = qr\left(\frac {1}{1-q-r} - \frac{1}{1-q} \right)'_r = \\= qr\left(\frac {1}{1-q-r} \right)'_r $

Слагаемое 4: $\sum^{\infty}_{k=0} \sum^{\infty}_{l=0} kC_{k+l-1}^l q^k r^l = q\left(\sum _{k,l} C _{k+l-1} ^l q^{k-1} r^l \right) = q\left( \frac {1}{1-q-r}\right) = \frac {q}{1-q-r} $

Слагаемое 5:
$\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0} lC_{k+l-1}^l q^k r^l = qr \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0} C_{k+l-1}^l q^{k-1}(l r^{l-1}) = \\ = qr \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0}\left( C_{k+l-1}^l q^{k-1}r^l \right)'_r = qr \left( \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0} C_{k+l-1}^l q^{k-1}r^l \right)'_r = qr\left(\frac {1}{1-q-r} \right)'_r $

Слагаемое 6:
$\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0} kC_{k+l}^l q^k r^l =q \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0} kC_{k+l}^l (q^k)'_q r^l = \\ = q \left( \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0} kC_{k+l}^l q^k r^l \right)'_q = q\left(\frac {1}{1-q-r} \right)'_q $

Слагаемое 7: $\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0} lC_{k+l}^l q^k r^l = r\left(\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{l=0} C_{k+l-1}^l q^k r^l \right)'_r = r\left(\frac {1}{1-q-r} \right)'_r$

Ну вот мы и посчитали все 7 слагаемых, теперь, с учетом того, что:

$\left(\frac {1}{1-q-r} \right)'_q = \left(\frac {1}{1-q-r} \right)'_r = \frac {1}{(q+r-1)^2} $

у нас появляется в знаменателях вторая степень, и масса положительных слагаемых, да еще помноженных на коэффициенты $A, B$, да еще с добавленными оставленными выше слагаемыми, и все полученное выражение лишается даже намека на ответ.

Вот и все.

Если у Вас появился ответ, совпадающий с желаемым, то прошу Вас, сообщить, как вы меняли индексы, и вообще пришли к этим двум слагаемым, и прошу обратить Ваше внимание. на то, что исходное выражение было неправильно, как мне кажется. упрощено в самом начале.

[Otta]

2 слагаемое мне не нравится, у Вас там $l$ не в тех пределах. Все остальное вроде в порядке.
Что их у Вас 7 - ну это как считать.

Imaginarium в сообщении #812310 писал(а):

Вы справедливо заметили, что я таким образом выкидываю некоторое число слагаемых, но, как оказалось, что то, что выкидывается, остается константой в скобках при дифференцировании по $q$, и также по $r$,

По $r$ да, а по $q$-то с чего вдруг?

[Imaginarium]

Otta в сообщении #812311 писал(а):

2 слагаемое мне не нравится, у Вас там $l$ не в тех пределах. Все остальное вроде в порядке.
Что их у Вас 7 - ну это как считать.

Второе слагаемое я получил из разбиения на 2 части первой двойной суммы
$\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1}[k(t_1+t_2)+l(t_2+t_3)+t_1]C_{k-1+l}^l(1-p_1)^k p_2^k (1-p_2)^lp_3^lp_1 $, разбивая квадратные скобки, получаем 2 и 3 слагаемые из моего отчетного поста, здесь нижний предел от 1 для обоих индексов.

-- 10.01.2014, 04:25 --

Otta в сообщении #812311 писал(а):

По $r$ да, а по $q$-то с чего вдруг?

Виноват, q ни при чем.

[Otta]

Я все понимаю, как Вы что получили, мне не нравится значение этой суммы. Почему - см. выше.

Imaginarium в сообщении #812310 писал(а):

и прошу обратить Ваше внимание. на то, что исходное выражение было неправильно, как мне кажется. упрощено в самом начале.

Нет, оно правильно упрощено.

[Imaginarium]

Otta в сообщении #812314 писал(а):

Я все понимаю, как Вы что получили, мне не нравится значение этой суммы. Почему - см. выше.

Простите, я не понимаю. Значение для "слагаемого 2" получается весьма несложно, и я аналогично вычислял и для других слагаемых... не понимаю.

Главное, что все это, вообще все - ни к чему не привело.

[Otta]

Imaginarium в сообщении #812310 писал(а):

Слагаемое 2: $\sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{l=1} kC_{k+l-1}^l q^k r^l = q\sum^{\infty}_{k=1} \sum^{\infty}_{l=1} C_{k+l-1}^l (q^k)'_q r^l = q\left(\frac {1}{1-q-r} \right)'_q $

Слагаемое 3:
$\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1} lC_{k+l-1}^l q^k r^l = qr \sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1} C_{k+l-1}^l q^{k-1}(l r^{l-1}) = \\= qr \left(\sum^{\infty}_{k=1}\sum^{\infty}_{l=1} C_{k+l-1}^l q^{k-1}r^l \right)'_r = qr \left( \frac{1}{1-q-r} - \sum_{k=1}^\infty C_{k-1}^0 q^{k-1}r^0 \right)'_r = qr\left(\frac {1}{1-q-r} - \frac{1}{1-q} \right)'_r = \\= qr\left(\frac {1}{1-q-r} \right)'_r $

(Оффтоп)

Вы одно считали до того, как уснуть, а другое после.)) Это бывает.

У Вас же абсолютно идентичные махинации должны быть для доопределения суммы до нужных пределов суммирования, - так, по крайней мере, как это Вы делаете, - посмотрите еще раз внимательно.

(Оффтоп)

Я Вам вчера проще путь предлагала, объединить первые две суммы в исходной записи, но Вы не восприняли. Ну и бог с ним.

Кстати о птичках, с чего вдруг разнообразные $t_i$ у Вас в сумме шатаются одиноко и бестолково? А ничего, что эти константы все под знаком суммы были?

[Imaginarium]

Кажется. я понял, и про пределы Вы правы... тут тоже от 1, во 2-м слагаемом. и если я применю аналогичную махинацию (как в 3-м) ко второму слагаемому, то ответ тоже домножится на $r$. Согласен. Но это опять никак не спасет.

(Оффтоп)

:P Вы правы. А Ваше предложение вчера про объединение двух слагаемых в одно и смещение пределов мне понравилось, но я решил все сделать единообразно

-- 10.01.2014, 04:48 --

Otta в сообщении #812316 писал(а):

Кстати о птичках, с чего вдруг разнообразные $t_i$ у Вас в сумме шатаются одиноко и бестолково? А ничего, что эти константы все под знаком суммы были?

А что с того? Разве они зависят от индексов? Разве их нельзя просто выставить за сумму? Я оставил в сумме только то, что умножается на индекс... Хотя я тут мог очень здорово ошибиться. Но пока ошибки не вижу.

[Otta]

Imaginarium в сообщении #812318 писал(а):

то ответ тоже домножится на $r$. Согласен. Но это опять никак не спасет.

Нет. Он просто будет другим. Пересчитайте, иначе опять придется "утра" ждать.
Спасет. Если еще нормально суммы с одинокими константами посчитаете.

Imaginarium в сообщении #812318 писал(а):

А что с того? Разве они зависят от индексов? Разве их нельзя просто выставить за сумму?

$\sum_{k=0}^\infty tp^k$.
Выставляйте.