По известной метрике найти лагранжиан

[PSP]

А если известна метрика, например S^2=(ct)^2-f^2(x,y,z) синхронная, то есть ли способы по ней найти лагранжиан?

[Архипов]

PSP писал(а):

А если известна метрика, например синхронная, то есть ли способы по ней найти лагранжиан?

Ув. PSP.
Раз уж Вы затронули эту тему, возможно Вы в ней хорошо разбираетесь.
Тема прямо касается уравнения механики Лагранжа.
Там утверждается: если дана функция
$L(x,v,t)$, (1)
где х - координата(длина), v -первая производная координаты по времени x' (скорость), t - время, то для нее справедливо уравнение
$d(dL/dv)/dt=dL/dx$. (2)
Затем доказывается, что функция $L(x,v,t)$ должна иметь вид
$(v1^2-v2^2)/2 - a*(x1-x2)=0$ (3)
чтобы удовлетворять дифференциальному уравнению (2), где а -ускорение, то есть производная скорости v.

Предлагаю более простой способ вывода этих уравнений:
1. Даны физические величины х-длина, t-время , v-cкорость, а -ускорение (первая и вторая производные координаты по времени).
2. Следствия из тождеств $v=dx/dt$ и $a=dv/dt$:
$dt = dx/v = dv/a$
$v*dv=a*dx$ (4)
3. Интегрируем это уравнение в определенных интегралах:
$(v1^2-v2^2)/2 - a*(x1-x2)=0$ (3)
Всё. Умножив уравнение (3) на постоянную величину $m$, получим уравнение закона сохранения механической энергии для замкнутой системы.

Далее. Утверждаю, что для любых двух сопряженных физических величин (вместо x и t) можно использовать этот способ, чтобы получить законы сохранения интегральных величин (вместо энергий для m,x,t).
Пример: (я просто копирую весь предыдущий абзац и заменяю переменную х на q (электрический заряд) , и постоянную $m$ на L (индуктивность).

2. Следствия из тождеств $I=dq/dt$ и $i=dI/dt$:
$dt = dq/I = dI/i$
$I*dI=i*dq$ (5)
3. Интегрируем это уравнение в определенных интегралах:
$(I^2-I2^2)/2 - i*(q1-q2)=0$ (6)
Всё. Умножив уравнение (6) на постоянную величину $L$, получим уравнение закона сохранения электрической энергии для замкнутой системы.
А если умножим на постоянную $R$ - получим уравнение для закона сохранения эл. мощности (даже не зная - существует ли таковой в электродинамике).

3. Таким образом, в лагранжиан я ввожу две физические величины (любые - длину+время, или массу + длину, или заряд + массу, или силу тока + длину). Хотя бы из основных физических величин.
Далее даю определение двух первых производных по любой из пары величин, форма дифференциального уравнения с разделяемыми переменными уже выведена, остается только подставить в нее обозначения выбраных переменных и констант. Проинтегрировав уравнение в определенных интегралах, получаем формулу какого-то закона сохранения. Почему какого-то? Потому, что переменные взяты произвольно (из массы и длины не получить закона сохранения энергии). НО! Теорема Нетер утверждает: дифференциальное уравнение такой формы, при условии симметрии величин (а основные физические симметричны, то есть могут принимать все действительные значения), будучи проинтегрированным, выражает закон сохранения полученой величины.
Если размерность этой величины подходит под уже определенные в метрологии производные физические величины, то получается готовый закон её сохранения.
Пример: беру две переменных - угол и время. Получаю закон сохранения энергии вращения.
В это дифференциальное уравнение можно вводить зависимости, извесные из физических законов (тяготения, аэродинамики, колебаний) и интегрированием находить уравнения движения. Я этим методом решил задачи всех этих классов и они совпали с уже существующими решениями из теории дифф. уравнений. За исключением тех случаев, когда интеграл расходится.

Помещал на форум по физике, математике эту статью. Отзывы такие: "математически все правильно, но не может же такого быть, чтобы физические законы из математики исходили!" Я же утверждаю: законы сохранения - математические теоремы дифференциального исчисления, а в качестве переменных берутся физические величины. Потому и приложения находят в физике, как и математическая теорема Остроградского-Гауса, например. Многие так и пишут: "закон Остроградчского Гауса", "по закону Гауса" и т.д.

Прошу высказать мнение по этой проблеме. Ведь метод достаточно прост, нет в нем новых понятий - школьные начала матанализа. Только по существу. Есть ли логические возражения? Но учитывайте, что задачи-то решаются безошибочно!

Извиняюсь, что встрял в тему. Но практически - почти ответ на Ваш же вопрос.

[Шимпанзе]

Замечание по пункту 2 ( перестановка в производных).
Трюк, которым пользуются физики, но не математики! Не помню тонкости, но строго математически такое преобразование в общем случае не допустимо. Обратитесь не к физикам, а к математикам, специалистам по мат. анализу, с вопросом в каких случаях, такая перестановка возможна?

[MOPO3OB]

Красиво!
попахивает мистикой, но красиво...

Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды:

Шимпанзе писал(а):

Замечание по пункту 2 ( перестановка в производных).
Трюк, которым пользуются физики, но не математики! Не помню тонкости, но строго математически такое преобразование в общем случае не допустимо. Обратитесь не к физикам, а к математикам, специалистам по мат. анализу, с вопросом в каких случаях, такая перестановка возможна?

когда функция дифференцируемая

[Архипов]

MOPO3OB писал(а):

Красиво!
попахивает мистикой, но красиво...

Шимпанзе писал(а):

Замечание по пункту 2 ( перестановка в производных).
Трюк, которым пользуются физики, но не математики! Не помню тонкости, но строго математически такое преобразование в общем случае не допустимо.

Благодарен за отклик.
Да, в учебниках математики по началам дифференциального анализа часто не указываются все возможные тождества. C заранее определенными и обозначенными физическими величинами преобразования сделать проще:
$dx=v*dt$
$dv=a*dt$
$dt=dx/v(x)$
$dt=dv(x)/a(x)$
$dx/v(x)=dv/a(v)$
$v(x)*dv(x)=a(x)*dx$
Бесконечно малые величины всегда в числителе, конечные могут быть и в знаменателе. Для зависимых переменных явно указаны их агументы.
Для последнего выражения доказываем возможность получения зависимости скорости от координаты путем извлечения кв. корня из инеграла I(a(x)*dx) :
$I(v*dv)=I(a(x)*dx)$
$v^2= 2*I(a(x)*dx)$
$v(x)= sqrt(2*I(a(x)*dx))$
$dv(x)=a(x)*dx/sqrt(2*I(a(x)*dx))$
$v(x)*dv(x)= a(x)*dx= v*dv$
Вот и все тождества для получения кинетических уравнений движения и законов сохранения.
Для получения динамических уравнений движения используем закон Ньютона
$a(x)=F(x)/m (F(x)=m*g/x^2, a(x)=k*x,...)$
$a(v)=F(v)/m (F(v)=kv, F(v)= k*v^2, ...)$
$a(x,v)=F(x,v)/m (F=k*x+C*v^2-mg,...)$
подставляя зависимости a() в дифференциальное уравнение и разделяя переменные (переносом в левую часть уравнения).

[Someone]

Архипов писал(а):

$d(dL/dv)/dt=dL/dx$

Извините, но здесь где-то полные производные, где-то частные, а у Вас все одинаковые. Вы не могли бы переписать всё в стандартных обозначениях?

$$\frac{du}{dx}\neq\frac{\partial u}{\partial x}$$

\frac{du}{dx}\neq\frac{\partial u}{\partial x}

[PSP]

Уклонились от темы...
Вообще то я научился находить лагранжиан по метрике...Правда , в СТО..

[VeiNo]

А можно глупый вопрос - лагранжиан чего?

[Архипов]

Да, отклонились. Вариируем, так сказать.
Да еще этот глупый вопрос про лагранжиан, да еще вопрос про частные производные, а теперь - и про метрику.
Не знал про лагранжиан ни чего. Написал на бумаге
$dv=a*dt$ ,
умножил обе части на v, получилось
$v*dv=a*v*dt$,
зная, что
$v*dt=dx$,
сделал замену:
$v*dv=a*dx$.
Время из первой формулы "испарилось". Что-то новенькое! Дай-ка проинтегрирую. Что получится?
$(v1^2-v2^2)/2=a*(x1-x2)$. Оказалось - лагранжиан!
Только ускорение выглядит константой. А если его сделать переменным, например
$a(x)=g/x^2)$?
В правой части лагранжиана получим другой интеграл
$=g(1/x1-1/x2)$,
а левая часть не изменилась. А если
$a(v)= k*v^2$ ?
Теперь левая часть будет
$(1/v1-1/v2)$,
а правая не изменилась (только k вместо а).
Однако размерность величин (метрика то есть) в уравнении изменилась! Теперь это уже не лагранжиан?
С частными производными пока не разобрался. Наверное, если ввести в дифференциальное уравнение смешанную зависимость ускорения
$a(x,v)=k1*x-k2*v$ ,
будут проблемы с разделением переменных.
Думал не отправлять этот тект сюда, да раз уж написал... Вдруг покажется интересным?

[VeiNo]

Архипов писал(а):

Да, отклонились. Вариируем, так сказать.
Да еще этот глупый вопрос про лагранжиан, да еще вопрос про частные производные, а теперь - и про метрику.
Не знал про лагранжиан ни чего. Написал на бумаге
$dv=a*dt$ ,
умножил обе части на v, получилось
$v*dv=a*v*dt$,
зная, что
$v*dt=dx$,
сделал замену:
$v*dv=a*dx$.
Время из первой формулы "испарилось". Что-то новенькое! Дай-ка проинтегрирую. Что получится?
$(v1^2-v2^2)/2=a*(x1-x2)$.

Поздравляю, вы получили закон сохранения энергии

Архипов писал(а):

Оказалось - лагранжиан!

Гамильтониан (он же энергия) а не лагранжиан

[Архипов]

Как следует из предыдущего сообщения (ежу понятно), интегрируя уравнение $v*dv=a*dx$, и умножив его на массу, получим закон сохранения энергии. Ладно.
А теперь последовательно будем вставлять в правый дифференциал различные ускорения:
$a(x)=-k*x$
$a(x)=g-k*x$
$a(x)=g+k*x$
$a(v)=-k*v$
$a(x)=-k*v^2$
$a(v)=-k*v+g$
$a(v)=-k*v^2-g$
$a(x)=R*g/x^2$
И другие извесные зависимости сил от скорости или координат (из законов Ньютона, Кулона, Архимеда, Гей-Люссака...).
Получим много формул, проинтегрировав дифференциальные уравнения. И все они будут выражать закон сохранения энергии? И все их называть лагранжианами? Дак тут целая таблица Лагранжа получится. Как у Менделеева.
Кто первым составит полную таблицу, тем именем ее и назовем. Ведь таблицу не Лагранж придумал, а мы!

Добавлено спустя 52 минуты 36 секунд:

Таблица интегралов движения

Мне кажется - хорошая идея! Составить таблицу интегралов движения по образцу, указаному выше.
Будет полезный результат коллективного творчества.
Даже "закон постоянства скорости света" можно туда включить.
c^2/2=e/k= 9*10^10/2*10^-7.- чем не закон сохранения? По внешнему виду.
То есть не просто шпаргалка с формулами для экзамена, а таблица формул, выводимых всего из одного дифференциального уравнения! То есть из шаблона, вставляя в него данные зависимости. На выходе - формула.
Хотя... в Матлабе, похоже, метод такой уже применяется.
Опыт показывает, что на форумах только коллективный мусор получается, заклюют, заплюют... Продукт же лучше в келейных условиях производить. Но попытаться можно...

[VeiNo]

Такое чувство, что под лагранжианом вы понимаете закон сохранения энергии. Это мягко говоря не так

Зависимость ускорения от координаты (времени и прочего) находится как раз из уравнений (2). Закон Ньютона - частный случай (2) (а именно для лагранжиана $L=m \frac{v^2}{2} - U(x)$, причем $F=-\nabla U$)

Затем. В лагранжевой механике вместо лагранжиана, координат и времени может стоять практически что угодно. Например в качестве координаты может выступать угол, заряд.. а также 4-потенциал электромагнитного поля. Если лагранжиан один, то как координату не обзови, соотношения получишь те же. Что вы и переоткрыли Кстати я на втором курсе решал задачи про электрические цепи "лагранжевым методом". Так что здесь ничего нового.

Кстати это тоже лагранжан:
\int d^3x (-\frac{1}{4} F^{\mu\nju}F_{\mu\nju}+\frac{i}{2}(\overline{\psi}\gamma^{\mu}(\partial_{\mu}-ieA_{\mu})\psi - (\partial_{\mu}-ieA_{\mu})\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi) - m\overline{\psi}\psi)$
Спинорное поле, взаимодействуещее с электромагнитным

[Архипов]

VeiNo писал(а):

Такое чувство, что под лагранжианом вы понимаете закон сохранения энергии. Это мягко говоря не так

Дайте, пожалуйства, свое определение лагранжиана (или покажите математический метод его вывода). Чтобы понятно было. Я знаю что такое функция, аргумент функции, производная, дифференциал, неопределенный интеграл, определенный интеграл, постоянная величина, переменная величина, физическая величина, уравнение. Если в определении лагранжиана будут другие термины, то дайте им определение. Если определение в виде математического выражения, то обозначения физических и математических величин желательно тоже определить.
Моя просьба без подвоха. Желательно, чтобы текст определения был плошадью не более страницы.

Добавлено спустя 51 минуту 5 секунд:

Глянул свои сообщения, там ясно сказано - лагранжиан выражает закон сохранения интегрируемой величины. Размерность ее зависит от размерности введенных переменных и постоянных физических величин. Может быть энергией, мощностью и чем угодно. Без постоянных величин, он примет размерность квадрата первой производной от функции y=f(x).

Но дело с таблицей с места не сдвинется. Из опыта.

Добавлено спустя 59 минут 48 секунд:

Еще одно уточнение. Метод Лагранжа (хотя я сам догадался о нем) - чисто математический. Лагранжиан может быть и просто без размерности.
y=sin(x)
y'=cos(x) =v
y''=-sin(x)=a
v*dv=a*dx - простое тождество, как бы уравнение Лагранжа.
Интеграл этого уравнения, как бы лагранжиан:
v^2/2 = Integral(-sin(x)*cos(x)*dx)= cos(x)^2/2
Всё. Первая производная в квадрате, размерность 1^2=1.

[VeiNo]

Лагранжиан - функция от обобщенных координат, скоростей и времени.
Причем требуется (если мы рассматриваем классическую, а не квантовую физику) выполнение принципа наименьшего действия, т.е.
$S=\int^{t_2}_{t_1}L(q(t),v(t),t)dt$, где $v_i=\dot{q_i}$
(называем этот интеграл действием) принимает на действительных траекториях наименьшее значение

Из этого требования (хотя если говорить строго, то из экстремальности, а не минимальности) получаем уравнения Эйлера-Лагранжа (т.е. (2)). Это уравнения не на $L$, а на $q_i(t)$

Вот и все

Пример №1. Нерелятивистская частица в потенциале $U(x)$
Обобщенные координаты: $x_i$, лагранжиан: $L=m\frac{v^2}{2}-U(x)$
Уравнения Эйлера Лагранжа: $m\frac{d^2x_i}{dt^2}=-\frac{\partial U}{\partial x_i}$, т.е. 2й з-н старичка Ньютона.

Пример №2. Свободная релятивистская частица (с=1, $x^0$-время, $g=diag(1,-1,-1,-1)$). Действие:
$S=-\int mds=-m\int \sqrt{g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}=-m\int \sqrt{1-v^2}dx^0$
где $v^i=\frac{dx^i}{dx^0}$
Уравнения Эйлера-Лагранжа: $\frac{mv^i}{\sqrt{1-v^2}}=0$

А вообще, оффтоп жуткий!

[Архипов]

VeiNo писал(а):

Лагранжиан - функция от обобщенных координат, скоростей и времени.
Причем требуется (если мы рассматриваем классическую, а не квантовую физику) выполнение принципа наименьшего действия, т.е.
, где
(называем этот интеграл действием) принимает на действительных траекториях наименьшее значение

Подозреваю - скопировано из учебника.
Вот задача:
Тело из состояния покоя падает на землю с высоты 4000км до высоты 100км. Каково будет время падения? Дан закон тяготения F=G*M*m/L^2. Покажите способ решения с применением лагранжиана или интеграла действия.
Другая задача:
Тело массой 5 кг падает в атмосфере с высоты 2000м до земли. Сила сопротивления F=0,01*v^2. На какой высоте скорость падения тела достигнет 50м/с? Покажите способ решения с применением уравнения Лагранжа.