Сумма замыканий множеств не равна замыканию суммы множеств

[IvanMIPT]

Здравствуйте!

Ну собственно сабж, пространство банахово, сумма Минковского. Я понимаю что вопрос простой, но что-то не могу придумать пример никак видимо опыта не хватает или воображения

заранее спасибо!

[Someone]

Имеется в виду неравенство $[A\cup B]_X\neq[A]_X\cup[B]_X$?
Не бывает такого, всегда равенство выполняется.

[IvanMIPT]

Someone в сообщении #810188 писал(а):

Имеется в виду неравенство $[A\cup B]_X\neq[A]_X\cup[B]_X$?
Не бывает такого, всегда равенство выполняется.

не объединение множеств, а сумма Минковского. Я думал что в этом случае также равенство, но наткнулся на задачу где надо доказать наоборот, что в самом общем случае сумма Минковского замыканий множеств есть подмножество замыкания суммы Минковского этих множеств, т.е. надо пример какой-нибудь.

[Someone]

Прошу прощения, невнимательно посмотрел.
Имеется в виду сумма Минковского двух множеств, или же можно взять бесконечную последовательность множеств? Для бесконечной последовательности пример, вроде бы, строится.
Я слабо знаком с суммой Минковского, но мне кажется, что для конечного числа множеств будет равенство.

-- Пн янв 06, 2014 19:22:03 --

Someone в сообщении #810198 писал(а):

мне кажется, что для конечного числа множеств будет равенство.

Вру. Вот раскопал пример: http://dcs.isa.ru/drupal/files/USERS/vladimirv/TOMCourse/cones.pdf, стр. 4.

[IvanMIPT]

Спасибо большое!

[ewert]

В любом случае $\overline A+\overline B\subset\overline{A+B}$. Для опровержения обратного вложения надо придумать два замкнутых множества, сумма которых была бы незамкнутой. В конечномерном случае оба таких множества должны быть неограниченными (если хотя бы одно из них ограниченно, то сумма окажется тоже ограниченной по соображениям компактности). Ну тогда хоть так: пусть и $A$, и $B$ -- это график какой-нибудь чётной положительной функции, стремящейся к нулю на бесконечности (скажем, $A=B=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\;y=\frac1{1+x^2},\,x\in\mathbb R\}$. Тогда очевидно, что начало координат не принадлежит сумме $A+B$, и в то же время (в силу симметрии) является предельной точкой этой суммы.